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CHAPITRE 8 Equations - Inéquations. Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable.

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1 CHAPITRE 8 Equations - Inéquations

2 Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable. - Résoudre léquation x ² = a, où a est un nombre positif. - Comparer des nombres en utilisant laddition et la multiplication. - Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.

3 La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, ) consiste en: - al jabr (le reboutement, 4 x - 3 = 5 devient 4 x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourdhui. Dans léquation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi sattache à sen débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de léquation. - al muqabala (la réduction, 4 x = x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique lorigine du x dans les équations.

4 I.Equations du 1er degré à une inconnue 1) Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions dune équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres dune équation. Règle n°2 : On ne change pas les solutions dune équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul.

5 Vocabulaire Inconnue cest une lettre qui cache un nombre cherché Equation cest une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue Résoudre une équation cest chercher et trouver le nombre caché sous linconnue. Solution cest le nombre caché sous linconnue Vérification : 10 x 0, = 2 x 0, donc 0,625 est solution.

6 2) Quatre exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

7 Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5 x à droite en ajoutant dans chaque membre +5 x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x ) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

8 On va dabord développer et réduire chaque membre de léquation avant de passer à la résolution. On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°2. La solution de cette équation est

9 On va dabord réduire chaque membre de léquation au même dénominateur, ici 14. 2x x7 On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 ) On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°1. La solution de cette équation est

10 II. Equations du 2nd degré à une inconnue 1) Equation produit nul Si un produit de facteurs est nul, alors lun au moins des facteurs est nul. Exemple: Résoudre léquation (4 x + 6)(3 - 7 x ) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 4 x + 6 = 0 Soit x = 0 4 x = x = -3 x = -6/4 x = -3/-7 x = -3/2 x = 3/7 Les deux solutions de léquation sont : x = -3/2 et x = 3/7 Remarque : on peut noter aussi S = {-3/2 ; 3/7} Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

11 2) Equation du type x ² = a Les solutions de léquation x ² = a (avec a > 0) sont : et Remarque : si a est négatif léquation nadmet pas de solution. Exemples : - Résoudre léquation Les solutions de léquation sont : et

12 - Résoudre léquation On a : et Les solutions de léquation sont : et Soit encore : et

13 III. Inéquations du 1er degré à une inconnue 1) Ordre et opérations Exemples: - Si x < 3, que peut-on dire de 3 x – 4 ? x < 3 3 x < 9 3 x - 4 < 5 x3 – 4 -Si x > 1, que peut-on dire de – 2 x + 4 ? x > 1 -2 x -2 x(– 2) - 2 x + 4 < <

14 Règle n°3 : On ne change pas le sens dune inégalité si on ajoute ou on retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres dune inéquation. Règle n°4 : On ne change pas le sens dune inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres dune inéquation par un même nombre POSITIF. Règle n°4 bis: On change le sens dune inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres dune inéquation par un même nombre NEGATIF.

15 2) Résolution dune inéquation Inéquation inégalité qui contient une inconnue x. Résoudre une inéquation cest trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. il sagit dun ensemble de valeurs. Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue de la même manière quune équation du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien appliquer les règles 3, 4 et 4bis.

16 Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée. 01 1/7 solutions Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à.

17 On divise par un nombre négatif donc on change le sens de linégalité /2 solutions Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à


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