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CHAPITRE 8 Equations, Inégalités. Objectifs: - Reconnaître si un nombre donné est solution dune équation ou non. - Résoudre une équation du premier degré

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1 CHAPITRE 8 Equations, Inégalités

2 Objectifs: - Reconnaître si un nombre donné est solution dune équation ou non. - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue. - Résoudre des problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. - Comparer des nombres.

3 Comment en est-on arrivé là ? Aujourdhui 4x ²+ 3x – 10 = 0 René Descartes Vers xx + 3x 10 François VièteVers in A quad + 3 in A aequatur 10 Simon StevinFin XVIe egales 10 0 TartagliaDébut XVIe 4q p 3R equale 10N Nicolas Chuquet Fin XVe 4² p 3¹ egault 10º Luca PacioliFin XVe Quattro qdrat che gioto agli tre nº facia 10 (traduit par 4 carrés joints à 3 nombres font 10) DiophanteIIIe Δ ʸ δ ζγ εστι ι (traduit par inconnue carré 4 et inconnue 3 est 10) Babyloniens et Egyptiens IIe millénaire avant J.C. Problèmes se ramenant à ce genre déquation.

4 I.Notion déquation 1) Vocabulaire Inconnue cest une lettre qui cache un nombre cherché Equation cest une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue Résoudre une équation cest chercher et trouver le nombre caché sous linconnue. Solution cest le nombre caché sous linconnue Vérification : 10 x 0, = 2 x 0, donc 0,625 est solution.

5 Exemple : Vérifier si 10 et 14 sont solutions de léquation On a 4 x (10 - 2) = 32 et 3 x = 36 Non, 10 nest pas solution de léquation car ! On a 4 x (14 - 2) = 48 et 3 x = 48 Oui, 14 est solution de léquation car on trouve 48 des deux côtés de léquation en remplaçant x par 14 !

6 2) Problème conduisant à une équation Une carte dabonnement pour le cinéma coûte 10. Avec cette carte, le prix dune entrée est de 4. 1) Calculer le prix à payer pour 2, 3, puis 10 entrées. pour 2 entrées : x 4 = 18 pour 3 entrées : x 4 = 22 pour 10 entrées : x 4 = 50 2) Soit x le nombre dentrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer (en comptant labonnement). On a 10 + x x 4 soit encore 4 x ) Ecrire léquation qui permet de trouver le nombre dentrées quand on dispose dune somme de 70. On a 4 x + 10 = 70 Prix à payer en fonction de x Pour une somme de 70

7 II. Résolutions déquations 1)Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions dune équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres dune équation. Exemple: On a = = = 4 On enlève « une noire » à chaque membre de léquation.

8 Règle n°2 : On ne change pas les solutions dune équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul. Exemple: On a = 400 grammes ÷ 2 = 400 grammes ÷ 2 On divise par 2 chaque membre de léquation. = 200 grammes

9 2) Quatre exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x ) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

10 Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5 x à droite en ajoutant dans chaque membre +5 x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x ) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

11 On va dabord développer et réduire chaque membre de léquation avant de passer à la résolution. On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°2. La solution de cette équation est

12 On va dabord réduire chaque membre de léquation au même dénominateur, ici 14. 2x x7 On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 ) On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°1. La solution de cette équation est

13 III. Ordre et inégalités 1) Vocabulaire et notation x < 4 signifie que x est strictement inférieur à 4 x > 5 signifie que x est strictement supérieur à 5 a 3 signifie que a est inférieur ou égal à 3 a b signifie que a est supérieur ou égal à b

14 2) Signe dune différence Si a – b < 0 alors a < b Si a – b > 0 alors a > b Remarque : Les réciproques sont également vraies. Exemple : Avec la calculatrice on trouve que -0,000957… Donc 0 Doù

15 3) Ordre et opérations a) Ordre et addition Les nombres a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b. Si a < b alors a + c < b + c Exemple : On sait que x 8 En déduire une inégalité vérifiée par chacune des expressions suivantes : x + 3 et x - 9 on a x doù x on a x doù x

16 b) Ordre et multiplication Si c > 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le même ordre que a et b. Si a 0 alors a x c < b x c Exemple : Compléter par ( x étant strictement positif) Comme 1,05 0 alors 1,05 x x < 1,5 x x Comme π > 3,14 et > 0 > 0 alors >

17 Si c < 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le sens inverse de a et b. Si a b x c Exemple : Compléter par Comme π > 3,14 et -3 < 0 alors <


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