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Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE Chapitre 3 : EQUATiONS DU 2 ème DEGRE Comment résoudre une équation du 2ème degré ? Comment factoriser une expression.

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1 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE Chapitre 3 : EQUATiONS DU 2 ème DEGRE Comment résoudre une équation du 2ème degré ? Comment factoriser une expression du 2ème degré ? Comment trouver le signe dun trinôme du 2ème degré ? Comment résoudre une inéquation du 2ème degré ? … 3 x 2 + x – 1 = 0 … ? … 2 x 2 – 15 x = - 30 …

2 COURS …COURS …COURS …COURS …COURS …COURS 1.UN PEU DE VOCABULAiRE Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE Exemple : 3 x x – 5 = 0 Cas général : ab c a x 2 + b x + c = 0 2 ème degré 2 ème membre toujours = 0 sinon le ramener à = 0 équation 1 er membre : expression du 2 ème degré appelée : polynôme ou trinôme du 2 ème degré abc a, b et c sont les coefficients ( ici a = 3 b = 4 et c = - 5 )

3 a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 Déterminer a, b et c a = ……b = ……c = …… attention : ne pas oublier les signes Déterminer a, b et c a = ……b = ……c = …… attention : ne pas oublier les signes Calculer le discriminant = b 2 – 4 a c Calculer le discriminant = b 2 – 4 a c > 0 > 0 < 0 < 0 = 0 = 0 2 solutions ou racines : x 1 = x 2 = 2 solutions ou racines : x 1 = x 2 = 1 solution double : x 1 = x 2 = 1 solution double : x 1 = x 2 = Aucune solution Aucune solution Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 1.COMMENT RESOUDRE UNE EQUATiON DU 2ème DEGRE

4 1ère application : Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 2 x x – 3 = 0 Détermination des coefficients : a b c = 2= 5 = - 3 ne pas oublier le signe Calcul du discriminant : = b 2 – 4 a c = 5 2 – 4 × 2 × ( - 3) = = 49 On est dans la situation : > 0 donc 2 solutions ou racines = 7 = - 3 Les solutions de léquation sont :

5 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 2ème application : - 4 x x – 1 = 0 Détermination des coefficients : a = b = c = Calcul du discriminant : = b 2 – 4 a c = ( - 4 ) 2 – 4 × ( - 4 ) × ( - 1) = = 0 On est dans la situation : = 0 donc 1 solution double La solution de léquation est :

6 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 3ème application : 2 x x + 4 = 0 Détermination des coefficients : Calcul du discriminant : On est dans la situation : a = b = c = = b 2 – 4 a c = ( - 3 ) 2 – 4 × 2 × 4 = = - 23 < 0 donc pas de solution

7 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 3. COMMENT FACTORISER UN TRiNÔME DU 2ème DEGRE a x 2 + b x + c a x 2 + b x + c Déterminer a : a = …… attention : ne pas oublier le signe Déterminer a : a = …… attention : ne pas oublier le signe Résoudre léquation : a x 2 + b x + c = 0 Résoudre léquation : a x 2 + b x + c = 0 si 2 solutions x 1 et x 2 si 2 solutions x 1 et x 2 si pas de solution si pas de solution si 1 solution double x 1,2 si 1 solution double x 1,2 a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) en tenant compte des signes a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) en tenant compte des signes a x 2 + b x + c = a ( x - x 1,2 ) 2 en tenant compte des signes a x 2 + b x + c = a ( x - x 1,2 ) 2 en tenant compte des signes pas de factorisation possible pas de factorisation possible

8 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 1ère application : P( x) = x 2 – x – 6 Résolution de léquation du 2ème degré correspondante : x 2 – x – 6 = 0 a = 1 b = - 1 c = - 6 = b 2 – 4 a c = ( - 1 ) 2 – 4 × 1 × ( - 6)= = 25 Doù 2 solutions : = 3 = - 2 x 1 = 3 x 2 = - 2 Factorisation du trinôme du 2ème degré : a x 2 + b x + c= a ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) avec a = x 1 = x 2 = x 2 – x – 6= 1 ( x –3 )[ x –( - 2 )] x 2 – x – 6= ( x – 3 ) ( x + 2 ) P(x) = ( x – 3 ) ( x + 2 ) 13- 2

9 Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE 2 ème application : P( x) = - 5 x 2 – 10 x – 5 Résolution de léquation du 2ème degré correspondante : - 5 x 2 – 10 x – 5 = 0 a = - 5 b = - 10 c = - 5 = b 2 – 4 a c = ( - 10 ) 2 – 4 × ( - 5 ) × ( - 5 )= = 0 Doù 1 solution : Factorisation du trinôme du 2ème degré : a x 2 + b x + c= a ( x - x 1,2 ) 2 avec a = x 1,2 = - 5 x 2 – 10 x – 5= - 5 [ x –( - 1)] x 2 – 10x – 5= - 5 ( x + 1 ) 2 P(x) = -5 ( x + 1 ) = -1 x 1,2 = - 1

10 3 ème application : P( x) = - 5 x 2 – 2 x – 3 Résolution de léquation du 2ème degré correspondante : - 5 x 2 – 2 x – 3 = 0 a = - 5 b = - 2 c = - 3 = b 2 – 4 a c = ( - 2 ) 2 – 4 × ( - 5 ) × ( - 3)= = - 56 < 0 donc pas de solution pour léquation du 2ème degré donc pas de factorisation possible du trinôme correspondant


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