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DROITES ET SYSTEMES CHAPITRE 7. I- Droites du plan 1) Equation réduite Dans un repère du plan, toute droite a une équation du type y=ax+b ou x=c. a est.

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1 DROITES ET SYSTEMES CHAPITRE 7

2 I- Droites du plan 1) Equation réduite Dans un repère du plan, toute droite a une équation du type y=ax+b ou x=c. a est le coefficient directeur b est lordonnée à lorigine Si d a pour équation y=ax+b alors M(x M ;y M ) appartient à d si et seulement si y M =ax M +b. Si d a pour équation x=c alors M(x M ;y M ) appartient à d si et seulement si x M =c.

3 Exemple: soit d: y=2x-1 et d: x=3 -A(2;5) d car 2x A -1=2x2-1=3 alors que y A =5 A(2;5) d car x A =23 -B(3;-2) d car 2x B -1=2x3-&=5 alors que y B =-2 B(3;-2) d car x B =3 -C(4;7) d car 2x C -1=2x4-1=7 donc x C =7=y B C=(4;7) d car x C =43

4 2) Représentation graphique Pour représenter une droite dans un repère, on a besoin au minimum de deux points appartenant à cette droite sauf si lon sait interpréter graphiquement a; b et c!). Pour les deux droites de lexemple précédent, on complète les « tableaux de valeurs »: Pour d: pour d: X33 y72 x20 y3

5 dd

6 Remarque: -la droite déquation x=c est parallèle à laxe des ordonnées. -lordonnée à lorigine b est lordonnée du point dintersection de d avec laxe des ordonnées. -le coefficient directeur a est le nombre duquel il faut monter ou descendre pour retomber sur la droite d après avoir décalé de un vers la droite.

7 3) Parallélisme a) Coefficient directeur Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives (x A ;y A ) et (x B ;y B ). Le coefficient directeur de la droite AB) est alors: a=y B -y A /x B -x A. Remarque: si x A =x B alors (AB) na pas de coefficient directeur car elle a une équation du type x=c.

8 b) Parallélisme Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, autrement dit elles ont toutes les deux une équation du type x=c ou bien si elles ont le même coefficient directeur. Exemple: d: y=2x-3 et d: x=4 d et d sont sécantes car leurs équation ne sont pas du même type. d: y=2x-3 et d: y=5x+2 d et d sont sécantes car elles nont pas le même coefficient directeur.

9 d: y=-8x+2 et d: y=-8x-4 d et d sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur -8. d: y=-3x+1 et d: y=3x+1 d et d sont sécantes car elles nont pas le même coefficient directeur. d: x=4 et d: y=4 d et d sont sécantes car elles ne sont pas du même type. d: x=4 et d: x=8 d et d sont parallèles car elles sont du même type.

10 4) Equation cartésienne Toute droite du plan admet une équation cartésienne cest-à-dire une équation du type ax+by+c=0. Réciproquement, toute équation du type ax+by+c=0 définie une droite du plan. Exemple: d: y=-2x+1 2x+y-1=0 d: x=6 x-6=0 d: y=7 y-7=0 d: -2x+y-6=0 y=2x+6 d: 6x+2y-10=0 y=-3x+5 d: x+12=0 x=-12

11 II- Système déquation Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système du type ax+by+c=0 ax+by+c=0 Le système est noté S, la première équation E 1 et la deuxième E 2. Cas particuliers: -d et d sont strictement parallèle: S na pas de solution. -d et d sont confondues: S admet une infinité de couple solution, se sont les coordonnées de d (ou d).

12 -d et d sont sécantes: S admet un couple solution. Pour résoudre un système, en admettant un unique couple solution, on dispose de deux méthodes: la substitution et la combinaison. 1) Méthode par substitution Considérons le système 2x-y-11=0 3x+6y-9=0 1 ère étape On isole une des deux inconnues x ou y dans lune des deux équations E 1 ou E 2. S E1E1 E2E2

13 Ici, on isole y dans E 1 : y=2x ème étape On remplace linconnue précédente isolée par le membre de droite obtenue dans lautre équation. Ici, on remplace y par 2x-11 dans E 2 : 3x+6(2x-11)-9=0. On résout léquation obtenue: 3x+12x-66-9=0 15x-75=0 15x=75 x= x=

14 3 ème étape On remplace linconnue par la valeur trouvée précédemment dans lune des équations afin de trouver la valeur de lautre inconnue. Ici, dans E 1 : 2x5-y-11=0 y=2x5-11=10-11=-1Conclusion Le système S a pour unique couple solution (5;-1).

15 2) Méthode par combinaison 2x-y-11=0 E 1 3x+6y-9=0 E 2 On appelle combinaison des deux équations E 1 et E 2, toutes équations du type αE 1 +βE 2 où α et β sont des nombres réels. Exemple: 10E 1 +E 2 est une combinaison de E 1 et de E 2. 10E 1 +E 2 : 10(2x-y-11)+3x+6y-9=10X0+0 23x-4y-119=0 S

16 Pour résoudre S, il faut déterminer une combinaison qui « élimine les y » et une combinaison qui « élimine les x ». Pour éliminer les y, on considère la combinaison 6E 1 +E 2 : 6(2x-y-11)+3x+6y-9=6X0+0 15x-75=0 15x=75 x=5

17 -3E 1+ 2E 2 : -3(2x-y-11)+2(3x+-y-9)=-3X0+2X0 15y+15=0 15y=-15 y=-1 Le couple solution est (5;-1).


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