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O SCILLATIONS LIBRES DES SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ 1 A Zouine EMG 2eme Prépa.

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1 O SCILLATIONS LIBRES DES SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ 1 A Zouine EMG 2eme Prépa

2 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté. 2 A Zouine EMG 2eme Prépa

3 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ équations différentielles du mouvement que lon peut obtenir à partir des équations de Lagrange 3 A Zouine EMG 2eme Prépa

4 S YSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Système masses-ressorts en translation 4 A Zouine EMG 2eme Prépa

5 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Equations différentielles du mouvement Le lagrangien L = T U sécrit alors 5 A Zouine

6 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Les équations de Lagrange sécrivent Doù le système déquations différentielles du mouvement 6 A Zouine

7 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Les termes Kx2 et Kx1 qui apparaissent respectivement dans la première et la seconde équation sont appelés termes de couplage, et les deux équations différentielles sont dites couplées. 7 A Zouine

8 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Résolution des équations différentielles Recherchons une solution particulière de la forme : où A1, A2 et Φ sont des constantes et ω lune des pulsations propres du système 8 A Zouine

9 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ La substitution de x1 et x2 dans le système déquations différentielles donne un système déquations linéaires homogènes dont les inconnues sont A1 et A2 9 A Zouine

10 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Ce système admet une solution non identiquement nulle seulement si le déterminant Δ(ω) des coefficients de A1 et A2 est égal à zéro. Le déterminant Δ(ω)est appelé déterminant caractéristique. Léquation Δ(ω)= 0 est appelée léquation caractéristique ou équation aux pulsations propres. 10 A Zouine

11 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ léquation caractéristique ou équation aux pulsations propres sécrit: ou encore 11 A Zouine EMG 2eme Prépa

12 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Cette équation est une équation quadratique en ω qui admet deux solutions réelles positives x1 et x2 appelées les pulsations propres du système. A11, A12, A21, A22, Φ 1 et Φ 2 sont des constantes. 12 A Zouine

13 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ on dit que le système oscille dans le premier mode Lorsque A12 = A22 = 0, Lorsque A11 = A21 = 0 on dit que le système oscille dans le second mode 13 A Zouine

14 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ Etudions les particularités de ces deux solutions particulières : – La première solution particulière sécrit : x1 et x2 doivent vérifier le système déquations différentielles, ce qui donne 14 A Zouine

15 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ le rapport des amplitudes dans le premier mode – La seconde solution particulière sécrit : 15 A Zouine

16 SYSTÈMES À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ – La solution générale (x1, x2) est une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières. x1 et x2 sécrivent alors: où A11, A12, 1 et 2 sont des constantes dintégration dont les valeurs sont fixées par les conditions initiales. 16 A Zouine

17 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS 17 A Zouine

18 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS lénergie cinétique et lénergie potentielle Les équations de Lagrange permettent dobtenir les équations différentielles du mouvement 18 A Zouine

19 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS une solution particulière de ce système déquations différentielles Serait: Ces deux expressions doivent satisfaire le système déquations différentielles, doù: 19 A Zouine

20 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS léquation aux fréquences: Doù lon tire lexpression des pulsations propres ω1 et ω2 La solution du système déquations différentielles est donc 20 A Zouine

21 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS Dans le premier mode, on obtient le système Dans le second mode, on obtient 21 A Zouine

22 A PPLICATION : P ENDULES COUPLÉS Tenant compte des expressions de ω1 et ω2 on obtient les valeurs du rapport des amplitudes dans les modes μ1 = +1 et μ2 = 1. Les solutions du système déquations différentielles sécrivent alors 22 A Zouine

23 E XERCICE À FAIRE 23 A Zouine Dans la figure ci-dessous, M et R représentent respectivement la masse et le rayon de la poulie. x1 et x2 représentent les écarts des deux masses par rapport à leur position déquilibre. On prend : M = 2(m2 m1) avec m2 = m, et k0 = k1 = k2 = k. 1. Ecrire le Lagrangien du système. 2. Déterminer les pulsations propres et le rapport des amplitudes de chacun des modes en fonction de m et k.


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