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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 7 Problèmes dordre 2 en temps : Analyse modale Domaines dapplication Calcul des modes propres et fréquences.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 7 Problèmes dordre 2 en temps : Analyse modale Domaines dapplication Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Deux approches possibles de la dynamique … Approche modale : domaine fréquentiel Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations dondes (airbag …) Approche qualitative ! Approche quantitative !

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Intérêts « industriels » Vibration - acoustique Couplage fluide-structure Protection séisme Ouvrage génie civil «Tacoma narrows bridge » …

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) La forme générale dun système déquations au 2 ème ordre en temps sécrit : Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale damortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité {F } : vecteur global des sollicitations Particularités de lanalyse modale : 1. On considère toujours {F } = {0} ! 2. Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles ! Problèmes de dynamiques

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : X (m) U 1 (t) U 2 (t) k1k1 k2k2 m2m2 m1m1

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Application 2 (1D) : cas dune barre élastique Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : X (m) F(t) E : module de Young [N/m 2 ] : masse volumique [kg/m 3 ] A : section [m 2 ] u(x,t) : déplacement [m]

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Modèle éléments finis (1D) Matrices élémentaires : telles que : avec : Assemblage : (L (1) = L (2) = L e ) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes.

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Application 3 (2D) : cas dune membrane tendue Maillage : éléments finis linéaires T3 Exemple dune peau de tambour Forme forte : Forme faible : T : tension p.u.l [N/m] s : masse surfacique [kg/m 2 ] S : surface [m 2 ] w(x,y,t) : déplacement [m] g : gravité [m/s 2 ]

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Modèle éléments finis (2D) Matrices et vecteurs élémentaires : tels que : avec : Assemblage : Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes. (Voir cours sur T3)

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Ecriture dun problème aux valeurs propres Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Avec : Ecriture générale dun problème aux valeurs propres ! (au sens mécanique du terme) Ecriture « spectrale »

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des valeurs propres Le calcul des valeurs propres sobtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice des vecteurs propres Matrice diagonale des valeurs propres Matrice de masse Matrice de rigidité

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Application 1 : 2 masses et 2 ressorts Simplifications : m 1 =m 2 =m, k 1 =k 2 =k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des fréquences et périodes propres VALEURS PROPRES :

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Interprétations graphiques VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE Mode 1 Mode 2 La solution générale sécrit donc : Le calcul des constantes dintégration A et B requiert deux conditions initiales.

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Exemple 2D Déformées modales dune membrane tendue (type « tambour ») :

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Exemple « industriel » de modes de déformées Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) : Modèle réelModèle numérique Mode 4-lobes Mode ovalisation Source :www.insecula.com Source : UTC / MQ06

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que linverse de la matrice nest pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions dorthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … Propriétés dorthogonalisation des vecteurs M -orthonormalisation K -orthogonalisation

19 NF04 - Automne - UTC19 Version 09/2006 (E.L.) Application : décomposition modale (1) Idée : utiliser les propriétés dorthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres :

20 NF04 - Automne - UTC20 Version 09/2006 (E.L.) Application : décomposition modale (2) 1- On applique le changement de variables : 2- Injection des formes dans le système déquations : 3- Multiplication « à gauche » par [X ] T : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ?

21 NF04 - Automne - UTC21 Version 09/2006 (E.L.) Application : décomposition modale (3) 4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : 5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace dorigine !


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