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Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Lobjectif est de présenter les principales étapes de construction dun Modèle éléments finis La présentation.

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1 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Lobjectif est de présenter les principales étapes de construction dun Modèle éléments finis La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Les techniques numériques relatives à la MEF sont présentées dans le chapitre 5 du cours. Elles sont mises en œuvre dans les scripts Matlab de lapplication MEFLAB. Bonne lecture

2 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Idées de base Point de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis forme simple approximation sur des variables physiques Domaine continu Domaine discrétisé Forces nodales Déplacements imposés Charge répartie

3 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Formulation Variationnelle PTV en Mécanique Approximation Éléments Finis Mêmes familles de fonctions pour (Galerkin) Pour chaque élément : Efforts donnés sur

4 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Pour les efforts internes Notation matricielle Opérateur gradient en petites déformations Loi de comportement avec Matrice raideur élémentaire Approximation EF

5 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Pour les efforts externes Vecteur force généralisée élémentaire Approximation EF Vous avez utilisé cette démarche pour létude des treillis et des portiques. On défini des vecteurs globaux Système global Assemblage En statique

6 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Approximation nodale Exemple 1D 2 variables approximation à 2 paramètres :T = a 0 + a 1 s « P b de température » s 01 T1T1 T2T2 T(s) Variables nodales signification physique Identification aux nœuds : Fonctions dinterpolation Techniques numériques Exemple : approximation utilisant 3 éléments Lapproximation nassure pas la continuité de la dérivée Cest lapproximation utilisée pour lélément barre

7 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Interpolation Éléments à une dimension Base polynomiale Linéaire (1 s ) Quadratique (1 s s 2 ) Cubique (1 s s 2 s 3 ) Type Lagrange Type Hermite 2 variables par nœud exemple : élément poutre v et Espace réel

8 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Éléments triangulaires Éléments quadrilatéraux Éléments toriques Éléments à deux dimensions Les bases polynomiales sont complètes Les bases polynomiales sont incomplètes

9 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Éléments à trois dimensions bases incomplètes bases incomplètes Éléments tétraédriques Éléments prismatiques Les bases polynomiales sont complètes Éléments hexaédriques

10 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis D réf D réel s,t,ux,y,z nœuds Transformation géométrique La transformation géométrique permet de passer dun même élément de référence aux éléments réels du maillage de la structure ==> matrices [B] e Dérivation : on montre F ct de N g et J matrice jacobienne de la transformation Intégration : on montre

11 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Calcul des matrices élémentaires Pour chaque point d intégration Calcul de [J] et [J] -1 au point d intégration Construction de [D] et [B] Calcul de [B] T [D] [B] det[J] i Calcul de [N] T [N] det[J] i Accumuler dans [K] et [M] Pour chaque élément N g et Intégration numérique Points dintégration sur lélément de référence Poids A étudier avec les scripts MEFLAB du T3 et Q4

12 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Domaine continu Discrétisation géométrique Calcul des matrices élémentaires Prise en Compte des Conditions aux limites et Résolution de léquation matricielle Construction de lapproximation nodale Assemblage Évaluation des grandeurs élémentaires Bilan

13 Diaporama : Méthodes numériques – Eléments finis Nous venons de présenter la démarche éléments finis Vous devez maintenant étudier sa généralisation : éléments de référence transformations géométriques calculs numériques Vous lavez déjà mise en œuvre sur les treillis et portiques En effectuant les calculs sur les éléments réels Techniques Numériques


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