La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS R. FORTUNIER CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES ELASTICITE METHODES SEMI-INVERSES METHODES.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS R. FORTUNIER CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES ELASTICITE METHODES SEMI-INVERSES METHODES."— Transcription de la présentation:

1 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS R. FORTUNIER CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES ELASTICITE METHODES SEMI-INVERSES METHODES ENERGETIQUES METHODES NUMERIQUES CALCUL TENSORIEL APPLICATION AUX POUTRES Notions de base Loi de comportement Méthodes de résolution Applications Compléments

2 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse CINEMATIQUE

3 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin P x u P X P : point « matériel » v CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Cadre général

4 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement moments) = variation du moment de quantité de mouvement Le solide est en équilibre sous laction des forces extérieures CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Équilibre d un solide

5 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin * vision macroscopique * « masse » dun élément de volume : dm = dv Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Continuité de la matière

6 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin configuration de référence : C 0 : description lagrangienne C(t) : descrition eulérienne C0C0 C(t) CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Configuration

7 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin P X C0C0 P x coordonnées d'un point : x = ( X, t ) avec ( X, 0 ) = X v vitesse d'un point : v = dx / dt = / t CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Description lagrangienne

8 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin vitesse d'un point : v( x, t) v P x C(t) coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt P X CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Description eulérienne

9 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin maquette du Concorde (document ONERA) P ligne d'émission du point P cargo échoué trace produite sur la mer (ligne d'émission du cargo) CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Ligne démission

10 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin tenseur gradient de la transformation * déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I P x u P X * déplacement du point P : u ( X, t) = x - X CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Tenseur gradient dune transformation

11 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin dX dx dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX P x P X u x = X + u CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Transport dun vecteur élémentaire

12 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin dv dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F) dV dV = [dX, dY, dZ] P x P X CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Transport dun volume élémentaire

13 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin n ds ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ N dS dS = NdS et dV = dS.dZ P x P X ds = J(F -1 ) t.dS avec J = det(F) CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Transport d une surface élémentaire

14 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin P x P X Évolution dune grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ? df / dt = f / t + f / x i. dx i / dt = f / t + v.grad(f) v CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Dérivées particulaires

15 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin m = dm = dv = cste d / dt + div(v) = 0 v P x P X CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse

16 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Description lagrangienne :Description eulérienne : x 1 = X tX 2 x 2 = X 2 x 3 = X 3 v 1 = x 2 v 2 = 0 v 3 = 0 a a 1 2 u X P x P CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient dune transformation Transport dun vecteur élémentaire Transport dun volume élémentaire Transport d une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne démission Equilibre et continuité Description dune transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse 1 - Cisaillement simple

17 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites DEFORMATIONS

18 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Il faut utiliser : Comment décrire la transformation de ce solide ? - une déformation - un déplacement de corps solide - une rotation DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Cadre général

19 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin vitesse d'un point : v( x, t) v P x C(t) P X C0C0 vitesse autour du point P : dv = grad X (v).dX = grad X (v).F -1.dx = F.F -1.dx v+dv. Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F -1. DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur gradient des vitesses de déplacement

20 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Tenseur « taux de déformation » D = ½ (L+L t ) Tenseur « taux de rotation » = ½ (L-L t ) L = D+ DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseurs taux de déformation et de rotation

21 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ? C0 C( t) C(2 t) etc… La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée » DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Intégration dans le temps

22 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin C : tenseur des dilatations P C0C0 P C(t) dx dy dX dY dx. dy = dX. F t.F. dY DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur des dilatations

23 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin P C0C0 P C(t) dx dX NXNX (N X ) = dx / dX = N X.C.N X Dilatation (ou changement de longueur) dans la direction N X : DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Dilatation dans une direction

24 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin P C0C0 P C(t) dx dy dX dY NXNX NYNY Glissement (ou changement dangle ) entre les directions N X et N Y : cos( (N X, N y )) = dx. dy / dx dy = N X.C.N Y / (N X ) (N Y ) DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Angle entre deux directions

25 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (F t F-I) P C0C0 P C(t) dx dy dX dY dx. dy = dX. C. dY = dX. dY + 2dX. E. dY DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur des déformations de Green-Lagrange

26 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin tenseur dEuler-Almansi : e = ½ (I-C -1 ) = ½ (I-F -t F -1 ) P C0C0 P C(t) dx dy dX dY dx. dy = dX. C. dY = dX. dY + 2dx. e. dy DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur des déformations dEuler-Almansi

27 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin évolution de la composante u i du déplacement le long de la direction x j de l espace a1a1 a2a2 état initial d = grad X (u) ou d ij = u i,j L = grad X (v) identification de C 0 et C(t) : F grad X (v). faibles changements de forme : F -1 I – grad(u) F = I + grad(u) état courant d 11 = 0 d 12 > 0 d 21 = 0 d 22 = 0 DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur gradient des déplacements

28 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin - symétrique - diagonal dans le repère - antisymétrique - « rotation » des axes a1a1 a2a2 état initial état courant d + avec = ½ (d+d t ) : tenseur des déformations = ½ (d-d t ) : tenseur des rotations Tenseur des déformations Tenseur des rotations DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Déformation et rotation de corps solide

29 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin F = I+d dv = det(F)dV = det(I+d)dV (1+tr( ))dV En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation dv P x C(t) dV P X C0C0 d = grad( u ) DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Dilatation volumique

30 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin (symétrique) donné est-il toujours le tenseur de déformation dune ou de plusieurs transformations ? d = + Une transformation est caractérisée par un tenseur gradient des déplacements d = ki,jl + jl,ik = kj,il + il,kj 6 équations de compatibilité doit être tel que : d.dX = du où du est une différentielle totale DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Équations de compatibilité

31 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 0°45° 90° différents points de mesure DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Mesure des déformations

32 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure) u DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites

33 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Déformations Hypothèse des petites perturbations équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk vecteur déplacement : u( X,t) conditions aux limites : u = U sur u tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations dEuler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Résumé

34 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé CONTRAINTES

35 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Il faut utiliser le tenseur des contraintes Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ? CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Cadre général

36 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Efforts de cohésion dans A (dus à la déformation) Efforts de sur A (provoquant la déformation) A Densité surfacique de forces t t Densité volumique de forces F F CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Hypothèses de base

37 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Vecteur contrainteTenseur des contraintes Le tenseur des contraintes est symétrique F dv = t ds A A P x C(t) F A t F = div( ) t =.n F x dv = t x ds A A = t CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Théorème de laction et de la réaction

38 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Le vecteur contrainte n est pas forcément porté par la normale à cette surface. n df t t = lim ds -> 0 df ds CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Signification physique du vecteur contrainte

39 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin surface contraintes vecteur C(t) C 0 C 0 C 0 Cauchy (eulérien, symétrique) Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique) Piola-Lagrange df =.ds CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Différents tenseurs des contraintes

40 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin n ds t Contrainte normale n Contrainte tangentielle b t n = t. n = ij n i n j t = t. b = ij b i n j ou t b = t - n n CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Contraintes normale et tangentielle

41 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Vecteur contrainte T connu sur la partie T de t = T.n = T n T T CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Conditions aux limites en pression

42 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Dans un repère orthonormé (Oxyz) : = xx xy xz yx yy yz zx zy zz t n xz yz zz xy yy zy xx yx zx CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Contraintes dans un repère orthonormé

43 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin actions sur A par le milieu extérieur - vecteur contrainte t - forces de volume f v A CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Forces extérieures agissant sur un volume

44 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin = A dv + A f v dv A tds A (div( ) + )dv = f v A dv div( ) + = f v CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan RésuméÉquilibre des forces

45 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin A t ds x= A dv x+ A f v dvx A (div( ) + - ) dv f v x ( - dv = 0 t A + équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Équilibre des moments

46 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin = t Dans le repère « principal » : Contraintes principales III = I II CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Contraintes principales

47 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin symétrique de trace nulle contrainte moyenne : = m = tr ( ) 1 3 déviateur des contraintes : S = 11 - m m 33 - m CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Contrainte moyenne et déviateur

48 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin contrainte équivalente de von Mises : = Sup(| I - II |, | II - III |, | I - III |) contrainte équivalente de Tresca : = S ij S ij 3 2 CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Contraintes équivalentes

49 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites :. n = T sur T CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de laction et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations déquilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé

50 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope ELASTICITE

51 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Loi de comportement du matériau ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X,t)vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites : u = U sur u conditions aux limites :. n = T sur T ELASTICITE Cadre général

52 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin tractionflexion Discorsi e Demonstrazioni matematicheGalilée (1638) : ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Résistance des solides

53 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Hooke (1660) : Mariotte (1680) : notion de module d élasticité Relation entre déformations et contraintes en élasticité même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Relation contrainte-déformation

54 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin partie utile élasticité Plasticité homogène localisation élasticité ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Courbe force-allongement

55 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Pour passer de F à, il faut connaître la section courante S de la partie utile de l éprouvette = F/S section S ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des contraintes

56 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin x = x = X 1 (1- t) X 2 (1- t) X 3 (1+ t) v = - x 1 /(1- t) - x 2 /(1- t) x 3 /(1+ t) = ln (1- t) ln (1+ t) lagrangien (Green-Lagrange) : E = - t + ½ 2 t 2 t + ½ 2 t eulérien (Euler-Almansi) : cinématique : E = (1- t) (1- t) 2 (1+ t) 2 En pratique, intégration du champ de vitesses de déformation ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des déformations

57 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 33 = ln(1+ t)=ln(l/l 0 ) 33 =F/S ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Courbe contrainte-déformation

58 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin = = E 33 E Module d Young = Coefficient de Poisson ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Domaine délasticité

59 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin = C: = S: Tenseur des rigiditésTenseur des complaisances 36 coefficients !!!! Ordre 4 81 termes !! 11 = C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1113 C 1112 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2213 C 2212 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3313 C 3312 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2313 C 2312 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1313 C 1312 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1213 C 1212 ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Loi de Hooke généralisée

60 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!! de = w + q Par unité de volume en cours de transformation : Travail mécanique fourni :.d Taux de chaleur reçu : Tds ij = w ij = C ijkl kl C ijkl = 2 w kl ij C ijkl = C klij ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Énergie de déformation élastique

61 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 11 = C 11 C C 11 C C C même comportement dans trois directions orthogonales Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C 11 C 1111, C 12 C 1122, C 44 C 1212 ) ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Symétrie cubique

62 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 11 = même comportement dans toutes les directions Le tenseur des rigidités a deux composantes indépendantes ( = C 11, = C 44 ) : les coefficients de Lamé Quel est le lien entre les coefficients de Lamé (, ) et les paramètres (E, ) ? ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope

63 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin ij = 2 ij + tr ( ) ij ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X,t)vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites : u = U sur u conditions aux limites :. n = T sur T Comportement élastique linéaire isotrope ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine délasticité Historique Lessai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Résumé

64 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé METHODES SEMI-INVERSES

65 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk vecteur déplacement : u( X,t) conditions aux limites : u = U sur u tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites :. n = T sur T Loi de comportement : = 2 + tr( ) ij METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé

66 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 15 inconnues (champs) 15 équations (EDP) ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk vecteur déplacement : u( X,t) conditions aux limites : u = U sur u tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites :. n = T sur T Loi de comportement : = 2 + tr( ) ij METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Inconnues et équations

67 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Approche en déplacements Approche en contraintes ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk vecteur déplacement : u( X,t) conditions aux limites : u = U sur u tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites :. n = T sur T Loi de comportement : = 2 + tr( ) ij METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Approches en déplacements et en contraintes

68 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin div( ) = div( grad(u) + grad(u) ) + div( tr( ) I) t ( u ) + ( + ) grad( div( u ) ) + f = 0 v utilisation de la loi de comportement et de la définition des déformations : équations d équilibre (en statique) : div( ) + f = 0 v déformation pure ( u = grad( ) ) : ( +2 ) ( u ) + f = 0 v matériau incompressible ( div( u ) = 0 ) : ( u ) + f = 0 v thermo-élasticité linéaire ( gradients thermiques ) : f --> f - ( 3 +2 ) grad( t ) vv METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résolution en déplacements

69 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin ( ) + grad(grad( tr( ))) = grad(div( )) + grad(div( )) t équations de compatibilité : loi de comportement : = - tr( ) I ( ) ( ) + grad(grad( tr( ))) + grad(f v )+grad( f v ) - div( f v ) I= 0 2( + ) t forces volumiques homognènes (indépendantes de X) : ( ) + grad( grad( tr( ) ) ) = 0 2( + ) METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résolution en contraintes

70 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin rr0 r1 coordonnées cylindriques : pression p0 pression p1 u(r,,z) = u(r) 0 0 METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Géométrie et cinématique

71 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin u0 0 0 u/r ( +2 )u+ u/r ( +2 )u/r+ u u/r+ u gradient en coordonnées cylindriques !!! = = METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Contraintes et déformations

72 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin divergence en coordonnées cylindriques !! ( ( +2 )u+ u/r ) + 2 ( u-u/r) /r = 0 0 = 0 u + u/r - u/r = 0 2 u = ar + b/r div( ) = 0 METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résolution en déplacements

73 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Expressions très complexes en coordonnées cylindriques !! ( ) et grad( grad( tr( ) ) ) ? = 2( + )a- b/r a 2 2( + )a+ b/r 2 On estime en fonction du champ de déplacements : u = ar+b/r : METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résolution en contraintes

74 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin face interne (r = r0) : - (r=r0) = p0 rr 2( + )a-2 b/r0 = -p0 2 r r0r1 (p0) (p1) face externe (r = r1) : (r=r1) = -p1 rr 2( + )a-2 b/r1 = -p1 2 t = -p1 0 0.n = t n t t n n = t = p0 0 0 n = 0 0 METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Conditions aux limites

75 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin 2( + )a-2 b/r0 = -p0 2 2( + )a22 b/r1 = -p1 2 (p1=0) = p0 r0 r1 -r r1 r 2 2 r T = 2p0 r0 r1 -r r1 r 2 2 T r0r1 METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résultats

76 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle METHODES ENERGETIQUES

77 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin ContraintesDéformations Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites perturbations équations de compatibilité : ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk vecteur déplacement : u( X,t) conditions aux limites : u = U sur u tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u) t ) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =. n avec = ( X, t) équations déquilibre : ij,j + f vi = i conditions aux limites :. n = T sur T Loi de comportement : = 2 + tr( ) ij METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Résumé

78 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Comment estimer la rigidité de ce ressort ? Il faut le déformer un peu !!! Travail des forces intérieures Travail des forces extérieures -Fdl + W = 0 l0l0 l 0 + l F(x) = k(l-l 0 ) W = 1/2 k( l) 2 l l0l0 x Mouvement virtuel (il ne sert qu à estimer k ) METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Cadre général

79 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin OBJECTIVITE La puissance virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est nulle EQUILIBRE La puissance virtuelle des efforts intérieurs ( P i ) et extérieurs ( P e ) est égale à celle des accélérations ( P a ) METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Axiomes dobjectivité et déquilibre

80 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Equations déquilibre Définition de OU Fonctionnelle à annuler P i + P e = P a avec Pa =.v dv Pe = f.v dv + t.v ds d Pi = div( ).v dv - (.n).v dv = - :grad(v) dv d v, (div( ) + f - ).v dv + (t-.n).v dv = 0 v, :grad(v) dv - f.v dv +.v dv - t.v dv = W(,v) = 0 METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Équations de base

81 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin W(, u) : fonctionnelle à annuler u, :grad(u) dv - f.u dv +.u dv - t.u dv = 0 u C.C.A. u = U sur U C.S.A. div( ) + f =.n = T sur T METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Principe des travaux virtuels – CCA et CSA

82 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin u = u 0 + u avec u C.C.A. et u 0 solution réelle = (u) = C : grad(u) W = W(u, u) =. u = 0 u p Energie potentielle (minimale !!) (u) = (1/2) grad(u):C:grad(u) dv - f.u dv - T.u ds p t T METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle

83 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Energie complémentaire (maximale !!) = 0 - avec C.S.A. et 0 solution réelle grad(u) = S : W = W(, ) = : = 0 c ( ) = - (1/2) :S: dv + (.n).U ds c U METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire

84 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Borne supérieure Borne inférieure u 0 (X,t), 0 (X,t) solution réelle (X,t) C.S.A. c ( ) p (u 0 ) c ( 0 ) u(X,t) C.C.A. p (u) METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Encadrement de la solution

85 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin x L 0 U Problème uniaxial (u(x)) : = = u(x) = = E u(x) xx Solution réelle : div( ) = Eu(x) = 0 u(0) = 0 u(L) = U u(x) = (U/L)x (x) = E(U/L) METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Géométrie et cinématique

86 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin x L 0 U Recherche d un C.C.A. u(x) ? u(x) = U (x/L) n Energie potentielle associée p ? (n) = (1/2) dv S 0 L = ESU 2L p 2 n 2n-1 2 Minimum de l énergie potentiel ? d dn = 0 p n = 1 METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en déplacements

87 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Recherche d un C.S.A. (x) ? Energie complémentaire associée c ? Maximum de l énergie complémentaire ? d da = 0 c = a (a)= -(1/2) dv S 0 L + Uds c 2 S =SaU- SL 2E a 2 a = EU L x L 0 U METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes

88 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin n p 1/2 1 a c EU L ES L 1/2 U 2 ES 2 L 1/2 U Rigidité de la barre ! METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes dobjectivité et déquilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Encadrement de la solution Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Encadrement de la solution

89 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation METHODES NUMERIQUES

90 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Il faut faire le bilan des forces sur différents points !! Bilan au point 2 : - k1.u2 + k2.(u3-u2) = 0 Bilan au point 3 : k1 k2 u1=0 u2 ? u3 ? Bilan au point 1 : k1.u2 - R = 0 P - k2.(u3-u2) = 0 R ? P -k1-k2 k2 -k2 u2 u3 = 0 -P R = k1.u2 Comment se déforme chaque ressort ? u Point 1Point 2Point 3 P/k1+P/k2 P/k1 0 R = P METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Cadre général

91 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin R(u) = div( u ) + f = 0 dans On fait une approche en déplacements (on cherche u(X) C.C.A. tel que...) u = U sur U (u).n = T sur T METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Modèle physique

92 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin R(u) = div( u ) + f = 0 dans u = U sur U (u).n = T sur T v.(div( u ) + f) dv = 0 u = U sur U (u).n = T sur T Fonctions de pondération METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Théorème des résidus pondérés

93 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Théorème de la divergence v.f dv + v.T ds - grad(v): u dv = 0 u = U sur U (u).n = T sur T + v = 0 sur U v.(div( u ) + f) dv = 0 u = U sur U v = 0 sur U T C.L. « naturelles » C.L. « essentielles » METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Formulation intégrale faible

94 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Choix de fonctions identiques et particulières pour u(X) et v(X) Trouver u(X) C.C.A. tel que pour tout v(X) nul sur U : v.f dv + v.T ds - grad(v): u dv = 0 T METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Approximation de Galerkin

95 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin v(x) = P 1 (x)v 1 + P 2 (x)v 2 + P 3 (x)v 3 grad(v(x)) = grad(P 1 (x)) v 1 + grad(P 2 (x)) v 2 + grad(P 3 (x)) v 3 v. grad(P ). u dv P f dv +P T ds - = 0 e=1i=1 MNe ii i i ee e e e ee T METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation

96 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin v. grad(P ). u dv P f dv +P T ds - = 0 e=1i=1 MNe ii i i ee e e e ee T v. R (u) = 0 i=1 N ii R (u) = A (T (u)) ii e=1 e M T (u) i e Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u 1, …, u N, tels que : R i (u 1, …, u N ) = 0 si u i inconnu METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Assemblage

97 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin u R Pb : calcul et inversion de la matrice tangente ! Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u 1, …, u N, tels que : R i (u 1, …, u N ) = 0 si u i inconnu METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Résolution

98 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin x L 0 = = u(x) = = E u(x) xx div( ) = Eu(x) = - g u(0) = 0 (L) = 0 u(x) = (1-x/2L)x (x) = gl(1-x/L) f = g gL E u x gL 2 2E gL L METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Solution analytique

99 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Calcul des résidus nodaux élémentaires (pour une section unité) : x L 0 L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 ( 1 ?) élément 1 ( 2 ?) 1 2 T 1 1 = P 1 1 (x) gdv - (x))dv = + 1 P 1 1 x gL 4 T 2 1 = P 2 1 (x) gdv - (x))dv = - 1 P 2 1 x gL 4 T12=T12= T22=T22= gL METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation

100 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin résidus nodaux : R 1 = T 1 1 = + 1 gL 4 Equations à résoudre : u1 = 0 R2 = 0 R3 = 0 avec 1 = 1(u1, u3, u3) 2 = 3(u1, u3, u3) EquilibreLoi de comportement x L 0 L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 ( 1 ?) élément 1 ( 2 ?) 1 2 R 2 = T T 1 2 = gL 2 R 3 = T 2 2 = - 2 gL 4 METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Assemblage

101 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin x L 0 L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 ( 1 ?) élément 1 ( 2 ?) 1 2 Elasticité linéaire : 1 =2E/L(u2-u1) 2 =2E/L(u3-u2) =Eu(x) E/L u2 u3 = gL 4 -2 Matrice de rigidité KVecteur sollicitation F u1 = 0 u2 = 3 /4 u3 = = gL 2E 2 u x L L/2 3 /4 x gL LL/2 3 gL/4 gL/4 METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Résolution Assemblage Discrétisation Résolution

102 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan APPLICATION AUX POUTRES

103 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Cette structure est un assemblage de poutres !!! Il faut utiliser la RdM APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Cadre général

104 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin - section S massive et droite - longueur L >> les autres - courbure de L faible - profil sans discontinuité - section : S = ds = dx 2 dx 3 - moments d ordre 1 x 2 ds = x 3 ds = 0 - moments d ordre 2 quadratique : I 2 = x 3 2 dsI 3 = x 2 2 dsproduit : I 23 = x 2 x 3 ds - moments de giration I = I 2 + I 3 APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Géométrie

105 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Au cours de la déformation, la section S reste droite. Degrés de liberté : - trois déplacements u1, u2, u3 - trois rotations r1, r2, r3 Vecteur déplacement au point M : u M = u + r GM u r = torseur des déplacements APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son planHypothèse de Navier

106 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Vecteur déplacement au point M : u M = u + r GM e M = e + GM e = torseur des déformations On introduit le vecteur e M = M complètement déterminé à partir de 11, 12 et 13 APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Torseur des déformations

107 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Vecteur contrainte au point M sur un élément de S : R M = torseur des efforts - moment résultant : M = GM t M ds - force résultante : R = t M ds t M = APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Torseur des efforts

108 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin R1R2R3M1M2M3R1R2R3M1M2M3 e 1 e 2 e =. ES 0 S 0 S 0 I 0 EI 2 -EI EI 23 EI 3 R M = torseur des efforts e = torseur des déformations APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Loi de comportement élastique linéaire

109 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin - couple réparti : c = GM f v ds - force répartie : p = f v ds R M = torseur des efforts Conditions aux limites : R et M aux extrémités Equilibre des moments : M + x 1 R + c = 0 Equilibre des forces : R + p = 0 APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Calcul des efforts internes

110 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin R1R2R3M1M2M3R1R2R3M1M2M3 e 1 e 2 e =. ES 0 S 0 S 0 I 0 EI 2 -EI EI 23 EI 3 Efforts internes calculés par les équations déquilibre Caractéristiques de la poutre (matériau et géométrie) Déformations calculées par inversion du système u r = torseur des déplacements Conditions aux limites : u et r aux extrémités Déformation : u + x 1 r = e Courbure : r = k APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Calcul des déplacements et des rotations

111 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Effort normal Effort tranchant Moment de flexion Equations déquilibre : N + p x = 0 T + p y = 0 M + T + c z = 0 Equations cinématiques : r = k z u = e x v-r = e y Déplacement normal Flèche Rotation u = uv0uv0 M = 00M00M R = NT0NT0 R M, r x y u r = 00r00r APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales

112 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin L x y F= 0 -P 0 x y z Forme de la section de la poutre : S et I z Matériau constituant la poutre : E et N = 0 T = 0 M + T = 0 N = 0 T = -P M = -P(L-x) Efforts internes : M(x) x Diagramme du moment r = M/EI z u = 0 v - r = T/ S r = -(Px/2EI z )(2L-x) u = 0 v = -(Px 2 /6EI z )(3L-x) -Px/ S Déplacements et rotations : Contribution du moment Contribution de leffort tranchant R0R0 M0M0 M0M0 R0R0 x Diagramme de l effort tranchant T(x) F APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Exemple

113 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur CALCUL TENSORIEL

114 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin E : e.v. sur un corps K a1a1 a2a2 E* : formes linéaires de E vers K a2a2 a1a1 u u = x i a i u*(e) = u.e x i = u*(a i ) = u.a i identification de E et de E* CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Espace vectoriel et espace dual

115 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin E : e.v. sur un corps K a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 u u = x i a i = y i b i Composantes « contravariantes » x i = u. a i et y i = u. b i Composantes « covariantes » CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Covariance et contravariance

116 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées x.y = x i y i = x i y i = g ij x i y j = g ij x i y j a1a1 a2a2 x y g ij = a i.a j g ij = g ij -1 x. y = x i y i = x i y i = g ij x i y j = g ij x i y j CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Le tenseur métrique

117 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin exemple : u v = produit tensoriel = produit des composantes Tenseur d ordre N = élément de E E E … E N fois CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens

118 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Composantes mixtes Composantes covariantes Composantes contravariantes Si u E, alors u = u i a i = u i a i Si T E E, alors T = T ij a i a j = T ij a i a j = T i j a i a j = T i j a i a j CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Composantes mathématiques d un tenseur

119 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Composantes « physiques » d un tenseur = projection sur les axes de coordonnées Si u E, alors u I = u. aiai a i Si T E E, alors T IJ = T: a i a j CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur

120 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type) X et Y deux tenseurs dordre 2 (cest-à-dire sur E E) Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type Z = X Y : ordre 4 (produit des composantes) Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté) Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté) CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Opérations sur les tenseurs

121 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin M (x 1 ) (x 2 ) O Lignes de coordonnées a i = OM x i En chaque point M de l espace : Tenseur métrique local (g ij ) a1a1 a2a2 Repère naturel CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Repère naturel

122 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin M (x 1 ) (x 2 ) O Symboles de Christoffel a1a1 a2a2 a i x k = ik j a j CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Symboles de Christoffel

123 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin u k,i = u k x i + k ji u j Terme « convectif » dû au système de coordonnées M (x 1 ) (x 2 ) O a1a1 a2a2 u u+du du = ( u) k a k = du k a k + u k da k = (du k + k ji u j dx i ) a k ( u) k = u k,i dx i CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Différentielle absolue, dérivée covariante

124 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin M (x 1 ) (x 2 ) O Accélération d un point Trajectoire (courbe paramétrée) Terme « convectif » a1a1 a2a2 v = dOM dt = OM x i dx i dt = v i a i = dv dt i = dv i dt + i kl v k v l Vitesse d un point v CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Accélération dun point

125 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin M (x 1 ) (x 2 ) O Gradient : Divergence : A = A ij a i a j u = u i a i u div(u) = u i,i div(A) = A ij,j a i grad(u) = u i,j a i a j grad(A) = A ij,k a i a j a k a1a1 a2a2 CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Gradient, divergence

126 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin (r) x1x1 x2x2 M O OM = r cos( ) = r sin( ) x1x1 x2x2 Tenseur métrique : [g ij ] = 10 0r2r /r 2 u r = u 1 = u 1 u = u 2 /r = r u 2 Composantes physiques de u : u = u i a i (contravariantes) u i = u.a i (covariantes) Repère naturel : a1a1 cos( ) sin( ) -r sin( ) r cos( ) a2a2 a1a1 a2a2 u CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Tenseur métrique

127 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin [ 1 ij ] = 10 0-r 01/r [ 2 ij ] = 0 Symboles de Christoffel : v r = 0 r = - v / r Accélération radiale dun point : r = 1 = + 1 kl v k v l = - r (v /r) 2 dv 1 dt dv r dt (r) x1x1 x2x2 M O OM = r cos( ) = r sin( ) x1x1 x2x2 a1a1 a2a2 u [g ij ] = 10 0r2r /r 2 Tenseur métrique : CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération dun point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Accélération dun point Composantes physiques d un tenseur Accélération dun point


Télécharger ppt "MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS R. FORTUNIER CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES ELASTICITE METHODES SEMI-INVERSES METHODES."

Présentations similaires


Annonces Google