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La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction.

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1 La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction

2 Deux méthodes : Soit comme avec les ballons – sonde météorologiques, on suit une particule de fluide dans son déplacement et on étudie sa propre trajectoire. Cest la vision lagrangienne de la mécanique du point

3 Deux méthodes : Soit comme les stations météo fixes, on étudie les caractéristiques du fluide en un point précis au cours du temps. Cest la vision eulérienne des spectres électromagnétiques

4 La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition

5 Description lagrangienne O x y z (R) P(t 0 ) R (t 0 ) P(t) R (t)

6 La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition b) Trajectoire dune particule

7 Trajectoire dune particule La trajectoire dune particule de fluide P est lensemble des positions successives prises par la particule fluide supposée ponctuelle au cours du temps.

8 Trajectoire O x y z (R) P(t 1 ) V P (t 1 ) P(t 2 ) P(t 3 ) V P (t 2 ) V P (t 3 ) Positions de P aux instants t 1, t 2 et t 3

9 La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition 3) Description eulérienne

10 Description eulérienne O x y z (R) P rMrM M Photo à linstant t : v (M,t) = V P (t) ; T(M,t) = T P (t) ; (M,t) = P (t) ; A linstant t, les points M et P coïncident

11 Description eulérienne O x y z (R) P rMrM M Photo à linstant t : v (M,t) = V P (t) V P (t) P A linstant t, les points M et P coïncident et les points M et P ne coïncident plus.

12 La cinématique des fluides I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition 3) Description eulérienne b) Lignes de courant

13 Ligne de courant Les lignes de courant dun fluide sont les lignes de champ du champ eulérien des vitesses.

14 Ligne de courant O x y z (R) M1M1 v (M 1,t 0 ) M2M2 v (M 2,t 0 ) M3M3 v (M 3,t 0 ) Photo à linstant t 0

15 La cinématique des fluides a) Ecoulement stationnaire I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne 4) Écoulements particuliers

16 Ecoulement stationnaire Un écoulement est stationnaire si lensemble de ses champs eulériens, v (M,t), T(M,t), P(M,t) et (M,t), est indépendant du temps, v (M), T(M), P(M) et (M). Ces champs nont aucune raison dêtre uniformes.

17 La cinématique des fluides b) Ecoulement incompressible I) Description de lécoulement dun fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne 4) Écoulements particuliers a) Ecoulement stationnaire

18 Ecoulement incompressible On dit quun écoulement est incompressible si le volume de toutes les particules de fluide P est conservé au cours du mouvement. Comme leurs masses se conservent aussi, les particules de fluide conservent également leurs masses volumiques au cours du déplacement.

19 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire

20 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions

21 Dérivée particulaire O x y z (R) P r = R (t) M Photo à linstant t : g(M,t) = g P (t) G (M,t) = G P (t) A linstant t, les points M et P coïncident

22 P Dérivée particulaire O x y z (R) r = R (t) M Photo à linstant t + dt : G (M,t + dt) = G P (t + dt) g(M,t + dt) = g P (t + dt) M r + d r = R (t + dt)

23 Lobservateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines : Si lécoulement est stationnaire mais non uniforme, lobservateur notera une variation de g. En effet, entre les instants t et t + dt, P bouge donc il voit, à la date t, g(M) puis, à la date t + dt, g(M) g(M) g(M). Cette variation est liée au caractère non uniforme du champ eulérien g(M).

24 Si lécoulement nest pas stationnaire et si la particule P reste en M, il notera une variation de g. En effet, en M, à la date t, P voit g(M,t) puis, à la date t + dt, P voit g(M,t + dt). g(M,t + dt) g(M,t). Cette variation est liée au caractère non stationnaire du champ eulérien g. Lobservateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines :

25 Dérivée particulaire La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps. La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.

26 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire dune grandeur scalaire intensive

27 La dérivée particulaire se décompose en deux termes : ( v. grad )g, la dérivée convective de g qui indique un caractère non uniforme de g ;, la dérivée locale de g qui indique un caractère non stationnaire de g.

28 NancyDijonLyonMarseille 15 h24°C25°C30°C34°C 17 h23°C24°C27°C32°C 19 h22°C 24°C30°C 22 h19°C 20°C24°C VillesNancyDijonLyonMarseille Distances

29 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire dune grandeur scalaire intensive 3) Expression de la dérivée particulaire dune grandeur vectorielle intensive

30 La dérivée particulaire se décompose en deux termes : ( v. grad ) G, la dérivée convective de G qui indique un caractère non uniforme de G ;, la dérivée locale de G qui indique un caractère non stationnaire de G.

31 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire dune grandeur scalaire intensive 3) Expression de la dérivée particulaire dune grandeur vectorielle intensive 4) Application à la vitesse : laccélération

32 ( v. grad ) v, laccélération convective qui indique un caractère non uniforme de la vitesse v ;, laccélération locale qui indique un caractère non stationnaire de la vitesse v. En M, à la date t :

33 Autoroute Voie daccès Radar 1 : 90 km.h –1 Radar 2 : 130 km.h –1

34 Conclusion : La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien. Définition :

35 Conclusion : La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps. Interprétation 1 :

36 Conclusion : Interprétation 2 : La dérivée particulaire fait le lien entre les grandeurs eulériennes qui servent à décrire lécoulement du fluide et les théorèmes mécaniques et thermodynamiques qui ont une écriture lagrangienne

37 Conclusion : Expressions :

38 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement

39 Cube mésoscopique à linstant t O x y A B D

40 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 v1 = – a(y.u x – x.u y )

41 Champ de vitesse : v 1 = – a(y. u x – x. u y ) AA = v 1 (A).dt = a..dt. u y OA = ( u x + a.dt. u y ). Le point A quitte laxe des abscisses.

42 Champ de vitesse : v 1 = – a(y. u x – x. u y ) BB = v 1 (B).dt = – a..dt. u x OB = (– a.dt. u x + u y ). Le point B quitte laxe des ordonnées.

43 Champ de vitesse : v 1 = – a(y. u x – x. u y ) O x y A B D A B D d a positif

44 Champ de vitesse : v 1 = – a(y. u x – x. u y )

45 Définition : On dit quun écoulement est non tourbillonnaire ou irrotationnel si le vecteur tourbillon est partout nul, autrement dit si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul.

46 Définition : Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, ou rotationnel, il existe au moins un point du fluide où est non nul : = rotv

47 Champ de vitesse : v 1 = – a(y. u x – x. u y )

48 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v 1 = – a(y.u x – x.u y ) b) Champ de vitesse v2 v2 = a.x.u x + b.y.u y

49 Champ de vitesse : v 2 = a.x. u x + b.y. u y AA = v 2 (A).dt = a..dt. u x OA = (1 + a.dt) u x. Le point A reste sur laxe des abscisses.

50 Champ de vitesse : v 2 = a.x. u x + b.y. u y BB = v 2 (B).dt = b..dt. u y OB = (1 + b.dt) u y. Le point B reste sur laxe des ordonnées.

51 Champ de vitesse : v 2 = a.x. u x + b.y. u y O x y A B D A B D a positif ; b négatif ; a – b

52 Champ de vitesse : v 2 = a.x. u x + b.y. u y

53

54 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v 1 = – a(y.u x – x.u y ) b) Champ de vitesse v 2 = a.x.u x + b.y.u y c) Champ de vitesse v3 v3 = a(y.u x + x.u y )

55 Champ de vitesse : v 3 = a(y. u x + x. u y ) AA = v 3 (A).dt = a..dt. u y OA = ( u x + a.dt. u y ). Le point A quitte laxe des abscisses.

56 Champ de vitesse : v 3 = a(y. u x + x. u y ) BB = v 3 (B).dt = a..dt. u x OB = (a.dt. u x + u y ). Le point B quitte laxe des ordonnées.

57 Champ de vitesse : v 3 = a(y. u x + x. u y ) DD = v 3 (D).dt = a. ( u x + u y )dt OD = (1 + a.dt)( u x + u y ). Les points O, D et D sont alignés.

58 Champ de vitesse : v 3 = a(y. u x + x. u y ) O x y A B D A B D a positif

59 Champ de vitesse : v 3 = a(y. u x + x. u y )

60

61 La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v 1 = – a(y.u x – x.u y ) b) Champ de vitesse v 2 = a.x.u x + b.y.u y c) Champ de vitesse v 3 = a(y.u x + x.u y ) d) Décomposition du mouvement local dun fluide

62 Décomposition du mouvement local dun fluide v (M) = v (O) + v 1 (M) + v 2 (M)+ v 3 (M)

63 Décomposition du mouvement local dun fluide Le champ v (O) décrit une translation uniforme en bloc du fluide ; Le champ v 1 (M) décrit une rotation sans variation de volume du fluide ; Le champ v 2 (M) décrit une déformation avec variation de volume mais sans rotation locale du fluide ; Le champ v 3 (M) décrit une déformation sans variation de volume et sans rotation locale du fluide.

64 Décomposition du mouvement local dun fluide Le champ v d (M) = v 2 (M) + v 3 (M) décrit une déformation du fluide sans rotation locale.

65 La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions

66 d + P dSdS M

67 La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Débit massique

68 Définition : On appelle débit massique D m dun fluide à travers une surface ( ) orientée, la masse algébrique de fluide qui traverse ( ), par unité de temps, dans le sens dorientation de la surface.

69 d = v.d S.dt dSdS v dSdS 2 m =.d =. v.d S.dt d r = v.dt

70 La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Débit massique b) Débit volumique

71 Définition : On appelle débit volumique D V dun fluide à travers une surface ( ) orientée, le volume algébrique de fluide qui traverse ( ), par unité de temps, dans le sens dorientation de la surface.

72 La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions 2) Conservation de la masse

73 Définition : Une surface de contrôle ( 0 ) est une surface matérielle ou non, fermée, indéformable et fixe dans le référentiel détude R.

74 Définition : On appelle sources et puits respectivement des zones dun écoulement de fluide où on note des apparitions de masse ou des disparitions de masse

75 La cinématique des fluides a) Expression intégrale globale III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions 2) Conservation de la masse

76 M m =.d j (M,t ) 0 V dSdS P j (P,t)

77 La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Expression intégrale globale 2) Conservation de la masse b) Expression locale

78 M m =.d j (M,t ) 0 V dSdS P j (P,t)

79 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire

80 Écoulement stationnaire 1 2 dS1dS1 dS2dS2 d S

81 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible

82 Ecoulement incompressible Un écoulement est incompressible si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle en tout point M et à tout instant :

83 Écoulement incompressible 1 2 dS2dS2 dS1dS1 D v1 = D v2

84 Écoulement incompressible D v1 = D v2 S1S1 v1v1 S 2 > S 1 v 2 < v 1

85 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel

86 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel 4) Écoulement radial avec une source

87 Écoulement radial avec une source O fil D m,

88 Écoulement radial avec une source fil dS1dS1 dS2dS2 d S M

89 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel 4) Écoulement radial avec une source 5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex a) Définition

90 La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex a) Définition b) Modèle de la tornade

91 Modèle de la tornade Une tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de vent violent et tourbillonnaire ».


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