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1 Propagation 3MNT 1. Propagation des OEM dans le vide 2. Polarisation des OEM 3. Propagation des OEM dans les milieux matériels 4. Réflexion et réfraction.

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1 1 Propagation 3MNT 1. Propagation des OEM dans le vide 2. Polarisation des OEM 3. Propagation des OEM dans les milieux matériels 4. Réflexion et réfraction des OEM 5. Propagation guidée des OEM OEM : Ondes électromagnétiques Plan du cours sur le semestre

2 2 Introduction Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Chapitre 1 Bloc 1

3 3 Introduction Généralités OEM : fin XIX ème : Hertz, Maxwell, Michelson…HertzMaxwellMichelson Caractéristiques des OEM : Absence de support matériel pour la propagation Invariance de la vitesse de propagation (référentiel galiléen) Hypothèses des OEM étudiées dans ce chapitre 1 : Dans le vide Milieu illimité

4 4 Relation entre la longueur donde et la fréquence f ? C : célérité des OEM dans le vide illimité C = 3, m.s -1 C = 3, m.s -1 Introduction

5 5 Visible 400 ; 800 nm Spectre électromagnétique

6 6 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1- Rappels sur les opérateurs 1- Rappels sur les opérateurs 2- Expression des équations de Maxwell 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Ch. 1

7 7 4 opérateurs principaux : gradient divergence rotationnel laplacien 1 - Rappels sur les opérateurs 1 – Equations de Maxwell dans le vide

8 8 Opérateur gradient L opérateur s applique sur un scalaire L opérateur s applique sur un scalaire est un vecteur est un vecteur Il traduit la variation d une grandeur dans l espace Il traduit la variation d une grandeur dans l espace Il est orienté dans la direction et le sens de la plus forte variation croissante de cette grandeur Il est orienté dans la direction et le sens de la plus forte variation croissante de cette grandeur Il est lié à la différentielle de f, quelque soit le système de coordonnées, par : Il est lié à la différentielle de f, quelque soit le système de coordonnées, par : Il est toujours orthogonal aux surfaces sur lesquelles f est constante Il est toujours orthogonal aux surfaces sur lesquelles f est constante

9 9 Exercice 1 Exprimer le champ électrique E au point M situé entre les armatures dun condensateur plan en fonction de la différence de potentiel appliquée sur les armatures V1V1 V2V2 V 1 > V 2. M

10 10 V1V1 V2V2 V 1 > V 2 E Grad V x x1x1 x2x2 Voir corrigé : document démonstrations bloc 1 Exercice 1

11 11 Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont : Opérateur gradient

12 12 Opérateur gradient Ses composantes en coordonnées sphériques ?

13 13 y x z 0 M z A Coordonnées sphériques ?... Coordonnées sphériques du point M (r,, ) Base vectorielle : erer e e Projection de M dans le plan équatorial r = 0M = 0A Animation 3D Tangent au méridien passant par M

14 14 Opérateur gradient en coordonnées sphériques Cette expression nest pas à savoir…

15 15 Exercice 2 En coordonnées sphériques, le vecteur A donné ci-dessous dérive-t- il dun potentiel ? Si oui, lexprimer sous la forme et déterminer la grandeur scalaire f. n et sont positifs

16 16 Aide pour lexercice 2 … La grandeur scalaire f existe-t-elle ? Si oui, de quelle(s) variable(s) dépend-t-elle ? Ecrire légalité vectorielle en coordonnées sphériques…. Et résoudre léquation… A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

17 17 Opérateur qui s applique sur un vecteur Opérateur qui s applique sur un vecteur est un scalaire est un scalaire En coordonnées cartésiennes : En coordonnées cartésiennes : Opérateur divergence Produit scalaire de lopérateur vectoriel gradient et du vecteur V

18 18 Opérateur divergence Son expression en coordonnées sphériques ? Cette expression nest pas à savoir…

19 19 y x z 0 M z A Coordonnées sphériques erer > 0 n > 1 En coordonnées sphériques, calculer div A Exercice 3 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

20 20 Opérateur dont lexistence est liée au flux par lintermédiaire du théorème de Green-Ostrogradski Opérateur dont lexistence est liée au flux par lintermédiaire du théorème de Green-Ostrogradski Le flux du champ à travers une surface fermée S est égal à lintégrale triple de dans le volume délimité par S Le flux du champ à travers une surface fermée S est égal à lintégrale triple de dans le volume délimité par S En savoir plus sur … lopérateur divergence Flux de B à travers S

21 21 Théorème de Green-Ostrogradski B = 0 à lextérieur du solénoïde Volume V du cylindre Surface S fermée : enveloppe du cylindre (paroi cylindrique+2 faces horizontales) Exemple : champ magnétique constant régnant dans un solénoïde Surface fermée ?

22 22 y x z 0 M z A Coordonnées sphériques erer > 0 n > 1 Exprimer le flux de A à travers une sphère de rayon R, centrée en O. Calculer sa divergence dans le volume V de la sphère. Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Green – Ostrogradski Exercice 4 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

23 23 L opérateur s applique à un vecteur L opérateur s applique à un vecteur C est le produit vectoriel de l opérateur gradient avec le vecteur C est le produit vectoriel de l opérateur gradient avec le vecteur est un vecteur est un vecteur est toujours orthogonal au vecteur est toujours orthogonal au vecteur Opérateur rotationnel

24 24 Opérateur rotationnel Expression en coordonnées cartésiennes : Expression en coordonnées cartésiennes : Exprimer le produit vectoriel ….

25 25 Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées cartésiennes est : Son expression en coordonnées cartésiennes est :

26 26 Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées sphériques ? Cette expression nest pas à savoir…

27 27 Coordonnées cylindriques de M (r,, z) Base vectorielle : y x z 0 M z A erer r=0A e animation 3 D cyl... Coordonnées cylindriques Ne pas confondre r et

28 28 Opérateur rotationnel Son expression en coordonnées cylindriques ? Cette expression nest pas à savoir…

29 29 > 0 n > 1 Exprimer le rotationnel de B en coordonnées cylindriques. y x z 0 M z A erer r=0A e Exercice 5 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

30 30 Son existence est liée à la circulation du vecteur par l intermédiaire du théorème de Stokes Son existence est liée à la circulation du vecteur par l intermédiaire du théorème de Stokes La circulation du vecteur sur une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel à travers n importe quelle surface S s appuyant sur C La circulation du vecteur sur une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel à travers n importe quelle surface S s appuyant sur C En savoir plus sur … lopérateur rotationnel Circulation du vecteur V le long de la courbe C Flux du rotationnel de V à travers S

31 31 Théorème de Stokes Circonférence C entourant le disque de surface S Disque de surface S

32 32 > 0 n > 1 Déterminer la circulation de B sur un cercle de rayon R, daxe (O,z). y x z 0 M z A Coordonnées cylindriques erer r=0A e Exercice 6 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

33 33 Laplacien scalaire Il s applique sur un scalaire f Il s applique sur un scalaire f Le laplacien de f (noté f) est un scalaire Le laplacien de f (noté f) est un scalaire f est la divergence du gradient de f f est la divergence du gradient de f Expression en coordonnées cartésiennes : Expression en coordonnées cartésiennes :

34 34 Expression en coordonnées sphériques Laplacien scalaire Cette expression nest pas à savoir…

35 35 y x z 0 M z A Coordonnées sphériques erer Calculer (r n ) Exercice 7 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

36 36 Il sapplique sur un vecteur Il sapplique sur un vecteur Le laplacien vectoriel de (noté ) est un vecteur Le laplacien vectoriel de (noté ) est un vecteur Ses composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de Ses composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de Laplacien vectoriel V

37 37 Laplacien vectoriel Expression en coordonnées cartésiennes : Expression en coordonnées cartésiennes :

38 38 Quelques relations importantes : Pour information : Document avec les principales relations sur dans les documents déposés sur la plateforme

39 39 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1 - Equations de Maxwell dans le vide 1 – 1 – Rappels sur les opérateurs 2 – Expression des équations de Maxwell 2 – Expression des équations de Maxwell 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide Propagation des OEM dans le vide Chapitre 1

40 40 Dans le vide, le champ électromagnétique est décrit par le champ électrique et le champ magnétique Dans le vide, le champ électromagnétique est décrit par le champ électrique et le champ magnétique Dans le vide, il n y a ni charges, ni courants Dans le vide, il n y a ni charges, ni courants Les constantes caractéristiques du vide sont : Les constantes caractéristiques du vide sont : sa permittivité diélectrique sa permittivité diélectrique sa perméabilité magnétique sa perméabilité magnétique 2 - Expression des équations de Maxwell 1 – Equations de Maxwell dans le vide

41 41 4 équations postulées par Maxwell en équations dites « structurelles » définissent la structure du champ électromagnétique en reliant les champs 2 équations dites « structurelles » définissent la structure du champ électromagnétique en reliant les champs 2 équations relient les champs aux sources de ces champs : leur expression dépend du milieu où règne le champ électromagnétique 2 équations relient les champs aux sources de ces champs : leur expression dépend du milieu où règne le champ électromagnétique 2 - Expression des équations de Maxwell 1 – Equations de Maxwell dans le vide

42 42 2 équations structurelles : les 2 équations « structurelles » reliant les champs ont la même expression dans tous les milieux : les 2 équations « structurelles » reliant les champs ont la même expression dans tous les milieux :

43 43 2 équations liant les champs aux sources Dans le vide il ny a pas de sources (ni charges, ni courants) : Équation de Maxwell - Gauss : Équation de Maxwell - Ampère : Équation de Maxwell - Gauss : liant div E aux charges Équation de Maxwell - Gauss : liant div E aux charges Équation de Maxwell - Ampère : liant rot B aux courants Équation de Maxwell - Ampère : liant rot B aux courants

44 44 Equations locales Elles définissent le champ électromagnétique en un point M Vide : homogène, isotrope Équations valables en tout point du vide ou règne le champ 2 - Expression des équations de Maxwell 1 – Equations de Maxwell dans le vide

45 45 Aller un peu plus loin…. Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à la relation : Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à la relation : div = 0 Théorème de Green-Ostrogradski flux conservatif est un champ à flux conservatif Le flux algébrique total de B à travers la surface fermée S est nul : le flux entrant dans S compense le flux sortant

46 46 S est la surface totale du cylindre, et n un vecteur unitaire, normal à S, orienté vers l extérieur de S Le flux radial de B à travers la paroi latérale cylindrique est nul (pourquoi ?....) Si B est parallèle à l axe du cylindre, le flux entrant par la face latérale gauche compense le flux sortant par la face droite La surface étant la même, B est donc constant… Aller un peu plus loin….

47 47 Le champ électrique est à flux conservatif dans le vide Aller un peu plus loin….

48 48 A laide de léquation de Maxwell appropriée, déterminer lexpression du champ magnétique associé au champ E dont lexpression en coordonnées cartésiennes est : Représenter le champ électromagnétique en 0 et en un point M (x,y,z) quelconque au même instant. Exercice 8 A chercher pour la prochaine séance dexercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

49 49 Quizz1… Equations de Maxwell dans le vide Fin du 1 er bloc.. ….Quizz ….


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