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Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide.

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1 Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide

2 Léquation locale de Maxwell – Faraday : Léquation locale du flux magnétique : div B = 0 Les équations locales de Maxwell :

3 Léquation locale de Maxwell – Gauss : Léquation locale de Maxwell – Ampère : Les équations locales de Maxwell :

4 Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide 2) Équation de propagation

5 Léquation de propagation de E : rot ( rotE ) = grad (div E ) – E = – E

6 Finalement : Léquation de propagation de E :

7 Léquation de propagation de B : rot ( rotB ) = grad (div B ) – B = – B

8 Finalement : Léquation de propagation de B :

9 Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions

10 En coordonnées cartésiennes : E = E x. u x + E y. u y + E z. u z B = B x. u x + B y. u y + B z. u z f = E x, E y, E z, B x, B y ou B z

11 Rappel : Nous admettons quen vertu de la linéarité de léquation scalaire de DAlembert à trois dimensions, toute solution est une superposition dondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout lespace :

12 Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H.

13 Définitions des O.E.M.P.P.H. On appelle onde électromagnétique plane progressive harmonique, O.E.M.P.P.H., une solution des équations de Maxwell dont les six composantes du champ électromagnétique sont des O.P.P.H de même pulsation et de même vecteur donde k. Seules leurs amplitudes A 0 et leurs phases à lorigine 0 sont a priori différentes.

14 Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H. 3) Notation complexe

15 Notation complexe E (M,t) = E 0x.cos( t – k. r + 0x ). u x + E 0y.cos( t – k. r + 0y ). u y + E 0z.cos( t – k. r + 0z ). u z. E x = Re(E x ), E y = Re(E y ) et E z = Re(E z ) même écriture pour B.

16 Notation complexe E x = E 0x.expj( t – k. r ) avec E 0x = E 0x.expj 0x. même écriture pour B. E z = E 0z.expj( t – k. r ) avec E 0z = E 0z.expj 0z. E y = E 0y.expj( t – k. r ) avec E 0y = E 0y.expj 0y.

17 Notation complexe avec E 0 = E 0x. u x + E 0y. u y + E 0z. u z avec B 0 = B 0x. u x + B 0y. u y + B 0z. u z. E = E x. u x + E y. u y + E z. u z = E 0.expj( t – k. r ). B = B x. u x + B y. u y + B z. u z = B 0.expj( t – k. r ).

18 Notation complexe E (M,t) = E 0.exp[j( t – k. r )] k.r = k x.x + k y.y + k z.z k = k x. u x + k y. u y + k z. u z

19 Notation complexe div E =. E = – j k. E ; E = 2 ( E ) = (– j k ) 2. E = – k 2. E ; rotE = x E = – j k x E E (M,t) = E 0.exp[j( t – k. r )]

20 Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H. 3) Notation complexe 4) Équation de dispersion et structure de londe a) Relation de dispersion

21 Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 4) Équation de dispersion et structure de londe a) Relation de dispersion b) Structure des ondes planes progressives dans le vide

22 Re( k.E ) = k. Re( E ) = k.E = 0 : u. E = 0 Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses électriques, T.E. div E = 0 donne.E = – j k.E = 0 ou k.E = 0 Structure des O.P.P.H. dans le vide

23 Re( k.B ) = k. Re( B ) = k.B = 0 : u. B = 0 Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses magnétiques, T.M. div B = 0 donne.B = – j k.B = 0 ou k.B = 0 Structure des O.P.P.H. dans le vide

24 x E = – j k x E = – j. B k x E =. B Re( k x E ) = Re(. B ) donne k x Re( E ) =.Re( B )

25 Structure des O.P.P.H. dans le vide x B = – j k x B = j E k x B = – E donne – k x B = E

26 Structure des O.P.P.H. dans le vide Si londe plane progressive harmonique se propage dans le sens de u : E = c. B x u Cette relation montre que le trièdre ( u, E, B ) est un trièdre orthogonal direct

27 u k E B

28

29 Structure des O.P.P dans le vide Lensemble de ces résultats constitue la structure des O.E.M.P.P.H. dans le vide. Cette structure du champ électromagnétique ne fait pas apparaître la pulsation. Ainsi les résultats obtenus pour les O.E.M.P.P.H. sétendent par sommation aux O.E.M.P.P. non nécessairement harmoniques. Dans le vide, les O.E.M.P.P. sont transverses et ( u, E, B ) forme un trièdre orthogonal direct

30 Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique

31 Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales dune O.E.M.P.P. a) Le vecteur de Poynting

32 Compte tenu de la structure dune O.E.M.P.P., son vecteur de Poynting vaut : Le vecteur de Poynting pour une O.E.M.P.P. est colinéaire à u, de même sens et perpendiculaire aux plans donde.

33 u k Lintensité énergétique dune O.E.M.P.P., notée I, est définie comme la puissance moyenne par unité de surface transférée par londe électromagnétique à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u

34 Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales dune O.E.M.P.P. a) Le vecteur de Poynting b) Lénergie volumique

35 En M, à la date t :

36 Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales dune O.E.M.P.P. 2) Vitesse de propagation de lénergie

37 Théorème de Poynting Cette relation constitue léquation locale de la conservation de lénergie électromagnétique sans source en M, à la date t. En absence de charge et de courant :

38 Théorème de Poynting Cette relation constitue léquation globale de la conservation de lénergie électromagnétique sans source. En absence de charge et de courant :

39 Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation dune O.E.M.P.P.H.

40 E = E 0x.cos( t – k.z). u x + E 0y.cos( t – k.z + ). u y On a choisi lorigine des temps de manière à prendre nulle une des phases à lorigine. est le déphasage de la composante E y sur E x. E 0x et E 0y sont des constantes positives.

41 Si ]0, [, E y est en avance sur E x. Si ]–, 0[, E y est en retard sur E x.

42 On appelle état de polarisation de londe toute relation entre les composantes E x (z,t) et E y (z,t).

43 Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation dune O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire

44 elliptique gauche elliptique droite z y x E y z x E

45 E = E 0x.cos( t – k.z). u x + E 0y.cos( t – k.z + ). u y Si ]–, 0[, la polarisation est elliptique - gauche Si ]0, [, la polarisation est elliptique - droite

46 circulaire gauchecirculaire droite y z x E z y x E E 0x = E 0y = E 0

47 Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation dune O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire 2) Polarisation rectiligne

48 Le champ électrique est polarisé rectilignement sil garde une direction fixe au cours de la propagation E = E 0x.cos( t – k.z). u x + E 0y.cos( t – k.z + ). u y = 0 ou : E = E 0x.cos( t – k.z). u x E 0y.cos( t – k.z). u y

49 rectiligne R 13 z y x E z y x E – rectiligne R 24 = 0 =

50 Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation dune O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire 2) Polarisation rectiligne 3) Récapitulatif

51 Dans le plan z = 0, E = E 0x.cos( t). u x + E 0y.cos( t + ). u y = 0 Polarisation rectiligne R 13 = Polarisation rectiligne R 24 ] –, 0[ Polarisation elliptique gauche ]0, [ Polarisation elliptique droite E 0x = E 0y et si = – Polarisation circulaire gauche E 0x = E 0y et si = Polarisation circulaire droite


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