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Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème.

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1 Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème

2 Position du problème Au repos, en M à la date t, les champs de masse volumique 0 et de pression P 0 sont uniformes et constants, le champ des vitesses est nul : v (M,t) = 0 P(M,t) = P 0 (M,t) = 0

3 Londe sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme : v (M,t) = 0 + v (M,t) P(M,t) = P 0 + p(M,t) (M,t) = 0 + (M,t) ordre 0 ordre 1

4 Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) Lapproximation acoustique

5 L approximation acoustique consiste à étudier des perturbations de faibles amplitudes. Définition :

6 |p| << P 0, | | << 0 et |v| << c Hypothèses : c étant la célérité des ondes sonores dans le fluide

7 Hypothèses : Les champs v (M,t), p(M,t) et (M,t) sont des infiniment petits du 1 er ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles

8 Hypothèses : Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle t = 0, t = 0, t = 0

9 Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) Lapproximation acoustique b) Équations fondamentales

10 Équations fondamentales Équation dEuler : Équation dEuler linéarisée :

11 Équations fondamentales Équation de conservation de la masse : Équation de conservation de la masse simplifiée :

12 Équations fondamentales Équation des mouvements isentropiques : Équation des mouvements isentropiques simplifiée : = 0. S.p

13 Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores 3) Équation de propagation des ondes sonores

14 Récapitulatif : Équation des mouvements isentropiques : = 0. S.p Équation de conservation de la masse : Équation dEuler linéarisée :

15 Finalement, pour la surpression p : Finalement, pour la vitesse v : Équations différentielles

16 Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores 3) Équation de propagation des ondes sonores 4) Célérité des ondes sonores

17 La vitesse du son vaut : Gaz parfaits : Ordres de grandeur : air : c 340 m.s –1 H 2 : c 1,3 km.s –1

18 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives

19 En coordonnées cartésiennes : v = v x. u x + v y. u y + v z. u z f = p, v x, v y ou v z

20 O x y z (R) Onde se propageant le long de laxe Ox : f(M,t) = f(x,t) Même onde se propageant le long de laxe = Ox Ox : f(M,t) = f(x,y,z,t) O x y z (R)

21 Conclusion : Nous admettrons quen vertu de la linéarité de léquation scalaire de DAlembert à trois dimensions, toute solution est une superposition dondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout lespace :

22 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition

23 ( ) est un plan donde t, (P) = (M) u ( ) P M k

24 Toute solution de léquation de DAlembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction peut se décomposer en O.P.P.H. de même direction. Les O.P.P.H. sont les éléments de base de lensemble des solutions de léquation de dAlembert à trois dimensions Résumé :

25 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe

26 Notation complexe f(M,t) = A 0.cos( t – k. r + 0 ) f(M,t) = A 0.exp[j( t – k. r )] avec A 0 = A 0.exp(j 0 )

27 Notation complexe f(M,t) = A 0.exp[j( t – k. r )] avec A 0 = A 0.exp(j 0 ) k.r = k x.x + k y.y + k z.z k = k x. u x + k y. u y + k z. u z

28 Notation complexe f(M,t) = A 0.exp[j( t – k. r )] avec A 0 = A 0.exp(j 0 ) grad p = (p) = – j k.p ; div v =. v = – j k. v ; p = 2 (p) = (– j k ) 2.p = – k 2.p ; rotv = x v = – j k x v

29 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe c) Relation de dispersion

30 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe c) Relation de dispersion d) Structure des ondes planes progressives

31 Structure des ondes planes progressives Par superposition, dO.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à lanalyse de Fourier, ce résultat sétend aux OPP : Les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.

32 Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques 3) Limpédance acoustique

33 Impédance acoustique Définition : On définit limpédance acoustique du milieu, notée Z a, comme le rapport de la surpression sur la vitesse :

34 Impédance acoustique Cette relation de couplage, p(M,t) = 0.c.v(M,t), ne fait pas intervenir la pulsation donc par superposition dO.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à lanalyse de Fourier, ce résultat sétend aux O.P.P. :

35 Impédance acoustique pour une O.P.P. Ordres de grandeur : air : Z a 500 kg.m –2.s –1 eau : Z a 10 6 kg.m –2.s –1

36 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique

37 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique dune onde sonore

38 Définitions : densité volumique dénergie cinétique : densité volumique dénergie potentielle élastique :

39 Définitions : densité volumique dénergie sonore : Energie acoustique apportée au fluide par londe sonore :

40 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique dune onde sonore 2) Bilans énergétiques a) Bilan local

41 Bilan local Équation de conservation de la masse : Équation dEuler linéarisée :

42 Bilan local

43 = p. v Cette relation constitue léquation locale de la conservation de lénergie acoustique en M, à la date t

44 (M,t) d + P dSdS M

45 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique dune onde sonore 2) Bilans énergétiques a) Bilan local b) Bilan global

46 (P,t) M e s (M) V dSdS P (M,t)

47 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique dune onde sonore 2) Bilans énergétiques 3) Application aux ondes planes progressives

48 Application aux O.P.P. e s = 2e c = 2e p

49 Analogie j m =. v = e s. v est la densité volumique de masse e s est la densité volumique dénergie sonore

50 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique dune onde sonore 2) Bilans énergétiques 3) Application aux ondes planes progressives 4) Cas des ondes planes progressives harmoniques

51 Application aux O.P.P.H. e s = 2e c = 2e p = 0.v 2 = s.p 2 p(M,t) = p 0.cos( t – k. r + 0 ) v (M,t) = v 0.cos( t – k. r + 0 ). u p(M,t) = Z a.v(M,t) = 0.c.v(M,t) p 0 = Z a.v 0 = 0.c.v 0

52 Application aux O.P.P.H. Lénergie acoustique volumique moyenne est une constante, lénergie acoustique moyenne de tout lespace est donc infinie ; Nous retrouvons le caractère non physique des O.P.P.H..

53 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 5) Intensité sonore et décibels acoustiques a) Intensité sonore

54 u k On appelle intensité sonore dune O.P.P.H., notée I, la valeur de la puissance moyenne transférée par londe sonore par unité de surface à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u

55 Intensité sonore

56 Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 5) Intensité sonore et décibels acoustiques a) Intensité sonore b) Décibels acoustiques

57 I (W.m –2 )I dB p 0 (Pa)v 0 (m.s –1 ) seuil absolu à 3 kHz10 –13 – 1010 – –8 seuil à 1kHz10 – – –8 chuchotement10 – – –7 voix basse10 – – –7 campagne10 – – –6 avenue10 –4 800,37.10 –4 marteau piqueur10 – –3 seuil douloureux –2

58 Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème

59 Dioptre acoustique O S kiki ktkt P 0, 1, c 1 P 0, 2, c x uxux k r = – k i

60 Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites

61 Les conditions aux limites Continuité de la vitesse : la vitesse dune particule fluide est continue au niveau de linterface, dans le plan x = 0, t. v 1 (0,t) = v 2 (0,t) v i (0,t) + v r (0,t) = v t (0,t)

62 Les conditions aux limites RFD sur un élément de surface : Linterface est considérée comme une membrane fictive de masse nulle, on obtient : 0 = [p 1 (0,t) + P 0 ]S – [p 2 (0,t) + P 0 ]S

63 Les conditions aux limites RFD sur un élément de surface : la surpression est continue au niveau de linterface de masse nulle, dans le plan x = 0, t. p 1 (0,t) = p 2 (0,t) p i (0,t) + p r (0,t) = p t (0,t)

64 Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites b) Coefficients en amplitude

65 Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour la vitesse : Coefficient de transmission pour la vitesse :

66 Coefficient de réflexion pour la vitesse : Coefficient de transmission pour la vitesse :

67 Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour la surpression : Coefficient de transmission pour la surpression :

68 Coefficient de réflexion pour la surpression : Coefficient de transmission pour la surpression :

69 Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position de problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites b) Coefficients en amplitude c) Coefficients en puissance sonore

70 Les coefficients en puissance Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :

71 Les coefficients en puissance Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :

72 Coefficient de transmission en puissance Léchelle des abscisses est logarithmique

73 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires

74 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure

75 La réflexion pure : Z 2 >> Z 1 r v – 1 et t v 0 donc R 1 et T 0 Le tuyau sonore est fermé en x = 0 par une paroi rigide Z1Z1 Z 2 = t, v (0,t) = 0

76 Ondes incidente et réfléchie Z 1, 1, c 1 Z 2 = Tuyau fermé en x = 0

77 O.I. O.R. r p = 1 0 Surpression : O.R. O.I. r v = –1 0 Vitesse :

78 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Les champs de vitesse et de surpression

79 x = 0 Z 2 = V V V N N N pression x = 0 Z 2 = V V V N N N vitesse

80 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Les champs de vitesse et de surpression b) Aspect énergétique

81 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure 2) Les cavités résonantes

82 Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L. 0 L x

83 Les ondes sonores dans un fluide a) Le régime libre V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure 2) Les cavités résonantes

84 Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut sécrire sous la forme dune somme infinie :

85 Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L. Harmonique m : 0 L x

86 Mode fondamental : 0 L x pression V N V 0 L x vitesse N V N

87 Harmonique 2 : L = 2 0 L x pression V NN V V 0 L x vitesse N V V N N

88 Harmonique 3 : 0 L x pression V NN V N V V 0 L x vitesse N VV N V N N

89 0 L x Cavité résonante fermée à une extrémité en x = 0, et ouverte à lautre en x = L. Harmonique m :

90 Mode fondamental : 0 L x pression V N 0 L x vitesse N V

91 Harmonique 2 : 0 L x pression V N N V 0 L x vitesse N V V N

92 Harmonique 3 : 0 L x pression V N N V N V 0 L x vitesse N V V N V N

93 Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Le régime libre 2) Les cavités résonantes b) Le régime forcé


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