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Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 1) Équation de propagation.

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1 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 1) Équation de propagation

2 O n-1 OnOn O n+1 n-1 n n+1 x y z Chaîne de pendules pesants couplés n-1 est négatif ; n et n+1 sont positifs

3 Chaîne de pendules pesants couplés Théorème du moment cinétique appliqué au pendule de rang n en O n projeté sur laxe O n x :

4 Dans lapproximation des milieux continus, a <<, on définit la fonction continue de classe C 2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n (t) : (x = n.a, t) = n (t) Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n (t) = (x,t) alors : n-1 (t) = (x – a, t) et n+1 (t) = (x + a, t)

5 Donc léquation de propagation, devient avec :

6 Pour des petits angles :

7 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions

8 Définition : Nous appellerons pseudo – onde plane progressive harmonique, O.P.P.H*., une onde de la forme : (x,t) = Re[ (x,t)] avec (x,t) = A.expj( t – k.x) où la pulsation de londe est réelle et le vecteur donde k = k. u x a priori complexe. A est lamplitude complexe.

9 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion

10 Léquation de propagation et la forme de londe utilisée donnent la relation de dispersion :

11 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion c) Dispersion et absorption

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13 Récapitulatif : k = k + jk Re(k) = k 0 donne la vitesse de phase. Si v dépend de, le milieu est dispersif. Re(k) = k renseigne sur la propagation. Si k = 0, il ny a pas de propagation ; Si k 0, il y a propagation.

14 Im(k) = k donne labsorption. Si k dépend de, le milieu est dit filtrant. Récapitulatif : k = k + jk

15 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques d) Retour sur lexemple

16 La relation de dispersion :

17 1 er cas : on ne garde que le terme en 2 Cest le cas de DAlembert pour lO.P.P.H*. k = 0 et v = c : Dans ce modèle, le milieu nest ni absorbant, k = 0, ni dispersif, v = cste.

18 2 ème cas : on garde les termes en 2 et en Dans lhypothèse supplémentaire :

19 On obtient deux couples (k 1, k 2 ) : Dans ce modèle, le milieu nest pas dispersif :

20 3 ème cas : on ne néglige que les frottements Equation dite de Klein – Gordon

21 3 ème cas : on ne néglige que les frottements Relation de dispersion de Klein – Gordon

22 3 ème cas : on ne néglige que les frottements k est réel : le milieu nest pas absorbant Si > c : v dépend de : le milieu est dispersif

23 3 ème cas : on ne néglige que les frottements k est imaginaire pur : le milieu est absorbant Si < c : (x,t) = A.exp(k.x).cos( t – k.x) = A.exp(k.x).cos t k dépend de : le milieu est filtrant

24 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 3) Paquet dondes. Vitesse de groupe

25 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 3) Paquet dondes. Vitesse de groupe a) Position du problème

26 Pour interpréter v g, considérons le groupe dondes constitué de deux O.P.P.H., de même amplitude et de pulsations 1 et 2 très proches, définies par : = 2 – 1 << 0

27 k = k 2 – k 1 << k 0 k 0 = k( 0 )

28 On observe des battements spatiaux : une onde moyenne de nombre donde k 0, de pulsation 0 est enveloppée par une onde enveloppe de nombre donde k et de pulsation

29 t0t0

30 t 1 > t 0 vgvg v = 10 m.s –1 et v g = 3 m.s –1 v

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32 Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 3) Paquet dondes. Vitesse de groupe a) Position du problème b) Généralisation. Vitesse de groupe

33 On appelle paquet dondes ou groupe dondes un ensemble dO.P.P.H*. de pulsations très voisines. Définition :

34 Un paquet dondes localisé dans le temps et dans lespace est une superposition dO.P.P.H*. à spectre continu en fréquence. Leurs pulsations sont comprises entre : << 0

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37 sans dispersion

38 avec dispersion

39 Phénomènes de propagation dispersifs II) Retour sur leffet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation

40 Effet de peau z vide Conducteur ohmique, homogène, isotrope, de conductivité électrique réelle positive E (0 -,t) = E 0.cos t. u x

41 Léquation locale de Maxwell – Gauss : Léquation locale de Maxwell – Faraday : Léquation locale de Maxwell – Ampère : Léquation locale du flux magnétique : div B = 0

42 Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t : || j D || << || j || =.|| E || et = 0. Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

43 Équation de propagation rot ( rotE ) = – E + grad (div E ) = – E

44 Phénomènes de propagation dispersifs II) Retour sur leffet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation 2) Solutions et analyse


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