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Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions.

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1 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions

2 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation dun milieu diélectrique a) Phénomène de polarisation

3 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation dun milieu diélectrique a) Phénomène de polarisation b) Les différents types de polarisation

4 Polarisation électronique :

5 Polarisation dipolaire : E = 0 dp 0 = 0 p 0micro E 0 p micro dp induit 0

6 Polarisation ionique :

7 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 1) Définitions 2) Polarisation dun milieu diélectrique 3) Le vecteur polarisation

8 M d V P (M,t)

9 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide

10 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié

11 d q 1, P 1 q 3, P 3 q 5, P 5 q 2, P 2 q 4, P 4 q 6, P 6 M q 7, P 7

12 Par définition le moment dipolaire mésoscopique d p résultant sur le volume d vaut : Le point M et le volume d sont fixes, la dérivée particulaire de P se confond avec sa dérivée locale :

13 d q 1, P 1 q 3, P 3 q 5, P 5 q 2, P 2 q 4, P 4 q 6, P 6 M q 7, P 7 q 1 = q 3 = q 5 q 2 = q 4 = q 6

14 Dans d, parmi les porteurs de charges individuels, un nombre dN i porte la même charge q i. On introduit pour ces dN i porteurs de charges une vitesse moyenne v i définie par : On introduit pour ces dN i porteurs de charges une densité volumique de particules n i définie par : dN i = n i.d

15 Puis toujours dans d, on regroupe les charges par valeur de charge :

16 On obtient finalement : Cette relation locale est intrinsèque

17 Une polarisation P (t) variant dans le temps est équivalente à une densité volumique de courant j lié dans le vide. Interprétation :

18 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié b) Densité volumique équivalente de charges liées

19 j = j libre + j lié = j lié et = libres + liées = liées Léquation locale de la conservation de la charge en M à la date t : Dans un diélectrique parfait neutre :

20 liées = – div P Dans un diélectrique parfait neutre : Cette relation locale est intrinsèque

21 Une polarisation P (M) variant dans lespace est équivalente à une densité volumique de charges liées dans le vide. Interprétation : liées = – div P

22 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 4) Les densités équivalentes dans le vide a) Densité volumique équivalente de courant lié b) Densité volumique équivalente de charges liées c) Récapitulatif

23 Un diélectrique parfait de vecteur polarisation P peut être modélisé par du vide dans lequel on a placé une densité volumique de courant lié j lié et une densité volumique de charges liées liées telles quen M à la date t : liées = – div P

24 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques parfaits 5) Les milieux diélectriques parfaits, linéaires, homogènes et isotropes

25 Un milieu diélectrique est linéaire et isotrope si le tenseur de susceptibilité ne privilégie aucune direction, i-e il est scalaire : P (M) = 0. (M, ). E (M) Définition :

26 Un milieu diélectrique est linéaire, homogène et isotrope si de plus la susceptibilité diélectrique ne dépend pas du point M : P (M) = 0. ( ). E (M) Définition :

27 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope

28 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 1) Équation de propagation

29 Dans un D.L.H.I. : = liées = – div P ; div E = 0 P = 0. ( ). E

30

31 Léquation locale de Maxwell – Faraday : Léquation locale du flux magnétique : div B = 0 Les équations locales de Maxwell dans un D.L.H.I. :

32 Léquation locale de Maxwell – Gauss : Léquation locale de Maxwell – Ampère : Les équations locales de Maxwell : div E = 0

33 Léquation de propagation de E : rot ( rotE ) = grad (div E ) – E = – E

34 Finalement : Léquation de propagation de E :

35 De même : Léquation de propagation de B :

36 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 1) Équation de propagation 2) Transversalité des ondes

37 Notation complexe E (M,t) = E 0.exp[j( t – k. r )] B (M,t) = B 0.exp[j( t – k. r )] k = k. u avec k = k + jk – j. k

38 Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I. Re( u.E ) = u. Re( E ) = u. E = 0 Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses électriques, T.E. div E = 0 donne. E = – j k. E = 0 ou k. E = 0 ou u. E = 0

39 Re( u.B ) = u. Re( B ) = u. B = 0 Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses magnétiques, T.M. div B = 0 donne.B = – j k.B = 0 ou k.B = 0 ou u.B = 0 Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I.

40 x E = – j k x E = – j. B k x E =. B Cette relation est fondamentale pour le calcul de B Contrairement au vide, E et B ne sont pas nécessairement orthogonaux et en phase car k est a priori complexe Structure des O.P.P.H. dans le D.L.H.I.

41 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice dun milieu a) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative

42 Rappels : E (M,t) = E 0.exp[j( t – k. r )] B (M,t) = B 0.exp[j( t – k. r )] k = k. u avec k = k + jk – j. k – k 2

43 La relation de dispersion – k 2

44 On définit la permittivité diélectrique relative complexe dun D.L.H.I. par : r = 1 + Définition :

45 On définit la permittivité diélectrique complexe dun D.L.H.I. par : = r. 0 Définition :

46 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice dun milieu a) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative b) Indice dun milieu

47 Définition : On définit lindice complexe n dun milieu diélectrique par la relation :

48 tels que n 2 = r = 1 + et k = n.k 0, avec où k 0 et 0 sont le nombre donde et la longueur donde de londe se propageant dans le vide.

49 Interprétation : Lextérieur propose une onde de pulsation à un DLHI qui répond par le vecteur donde k. Lindice complexe n compare la réponse du milieu à celle quaurait le vide pour la même onde.

50 n = n + jn n est lindice de dispersion ou de réfraction n est lindice dabsorption ou dextinction

51 Définition : On dit quun milieu est transparent si n = 0. Ainsi lindice de dispersion doit être identifié à lindice lumineux n dun milieu transparent tel quil a été défini en optique.

52 Définition : La vitesse de phase dune O.P.P.H*. dans le milieu diélectrique est définie par :

53 Si u = u x : Dans le cas particulier dune polarisation rectiligne : E 0 = E 0.exp(j 0 ) avec E 0 = E 0. u y alors : E (M,t) = E 0.expj( t – k.x) = E 0.expj( t – k.x + 0 ) E (M,t) = E 0.exp(k.x).expj( t – k.x + 0 ). u y k = k. u x avec k = k + jk

54 La phase de notre onde dans le milieu sécrit alors : (x,t) = t – k.x + 0 = t – n.k 0.x + 0

55 On obtient les équations de Maxwell, les équations de propagation, la relation de dispersion dans un D.L.H.I. neutre à partir de celles du vide en prenant j = 0, = 0 et en remplaçant 0 par = 0. r = 0.n 2 : Remarque :

56 Léquation locale de Maxwell – Faraday : Léquation locale du flux magnétique : div B = 0 Les équations locales de Maxwell :

57 Léquation locale de Maxwell – Gauss : Léquation locale de Maxwell – Ampère : Les équations locales de Maxwell : div(n 2. E ) = 0

58 Les équations de propagation de E et de B : La relation de dispersion

59 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 4) Aspect énergétique

60 Aspect énergétique E (M,t) = E 0.exp[j( t – k. r )]. u y k = k. u x avec k = k + jk E (M,t) = E 0.expj[ t – (k + jk)x]. u y E (M,t) = E 0.exp(kx).expj( t – kx). u y E (M,t) = Re( E ) = E 0.exp(kx).cos( t – kx). u y

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64 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 4) Aspect énergétique 5) Milieu peu dense : Le modèle de lélectron élastiquement lié a) Le modèle de lélectron élastiquement lié

65 Le modèle de lélectron élastiquement lié. Les différents électrons des molécules de latmosphère sont traités indépendamment ;

66 Le modèle de lélectron élastiquement lié. Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.

67 Le modèle de lélectron élastiquement lié. L'électron est placé dans un champ électrique extérieur E. L'analyse de Fourier permet de se ramener au cas d'un champ variant sinusoïdalement avec le temps ; d'autre part, on néglige le déplacement de l'électron par rapport à la longueur d'onde de E ;

68 Le modèle de lélectron élastiquement lié Cette hypothèse est réaliste car par définition un électron lié se déplace à l'échelle de l'angstrom, distance très inférieure aux longueurs d'ondes usuelles en électromagnétisme. On peut donc considérer le champ électrique comme uniforme à l'échelle du déplacement de l'électron et écrire E = E 0.cos t ; En pratique, on a : << 0

69 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait b) La susceptibilité diélectrique et lindice complexe II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 5) Milieu peu dense : Le modèle de lélectron élastiquement lié a) Le modèle de lélectron élastiquement lié

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72 Hypothèse : | | << 1

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74 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope 5) Milieu peu dense : Le modèle de lélectron élastiquement lié c) Interprétations des graphes

75 Rappel : Un milieu est transparent pour une O.P.P.H. si lindice du milieu n pour la fréquence de lO.P.P.H. est réel, n 0 : londe sy propage sans atténuation et la dispersion est relativement faible.

76 |n| indice dabsorption transparence bande dabsorption

77 n 1 indice de dispersion

78 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 1) Position du problème

79 n1n1 I kiki n2n2 (1) (2) i1i1

80 E 1 = E i + E r ; Conditions aux limites sur linterface : B 1 = B i + B r ; E 2 = E tr ; B 2 = B tr ;

81 Relations dans le milieu (1) : div B 1 = 0

82 Relations dans le milieu (2) : div B 2 = 0

83 Relations de passage en un point M de linterface : E t2 = E t1 donne B n2 = B n1 div B = 0 donne B t2 = B t1 donne div(n 2 E ) = 0

84 En notation complexe : E 1 = E 0i.expj( t – k i. r ) + E 0r.expj( t – k r. r ) E 2 = E 0tr.expj( t – k tr. r )

85 En notation complexe :

86 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes

87 T N I kiki n1n1 (1) n2n2 (2) i1i1 krkr k tr r i2i2

88 Continuité de la composante tangentielle de E : E t0i.expj( t – k i. r 0 ) + E t0r.expj( t – k r. r 0 ) = E t0tr.expj( t – k tr. r 0 ) t, M 0 de ( )

89 Continuité de la composante tangentielle de E : E t0i + E t0r.expj( k i – k r ). r 0 = E t0tr.expj( k i – k tr ) r 0 r 0

90 Les lois de Descartes k r = k i + a. Nk tr = k i + b. N Ces deux égalités constituent les lois de Descartes :

91 Les lois de Descartes Les vecteurs donde k r et k tr des ondes réfléchie et réfractée sont dans le plan dincidence, défini par les vecteurs k i et N k i. T = k r. T = k tr. T : La continuité de la composante tangentielle du champ électrique E impose la continuité des composantes tangentielles des vecteurs donde

92 Les lois de Descartes pour loptique géométrique Les rayons réfléchi et réfracté sur un dioptre appartiennent au plan dincidence Les angles de réflexion et dincidence sont opposés : k i. T = k r. T donne sini 1 = – sinr ou i 1 = – r Les angles de réfraction et dincidence vérifient : k i. T = k tr. T donne n 1.sini 1 = n 2.sini 2

93 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes b) Cas de la réflexion totale

94 La réflexion totale Si i 1 i 1L, il existe une onde transmise dans le milieu (2) : Si i 1 > i 1L, lexpérience montre quil y a réflexion totale. Néanmoins, cela ne signifie pas quil ny a pas donde dans le milieu (2).

95 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 2) Les lois de Descartes a) Les lois de Descartes b) Cas de la réflexion totale c) Londe évanescente

96 uyuy N I kiki n1n1 (1) n 2 < n 1 (2) i1i1 krkr r uxux

97 En notation complexe : E i = E 0i.expj( t – k i. r ) E 2 = E 0tr.expj( t – k tr. r )

98 Londe évanescente Elle se propage le long de la surface de séparation dans la direction Oy à la vitesse de phase : Son amplitude décroît lorsque x augmente dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation.

99 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème

100 uyuy n1n1 (1) n2n2 (2) uxux kiki BiBi EiEi krkr BrBr ErEr k tr B tr E tr

101 Onde incidente : E i = E 0i.expj( t – k i.x). u y

102 Onde réfléchie : E r = E 0r.expj( t + k i.x). u y

103 Onde réfractée : E tr = E 0tr.expj( t – k tr.x). u y

104 E 1 = E i + E r ; Dans le milieu (1) : B 1 = B i + B r ; E 2 = E tr ; B 2 = B tr ; Dans le milieu (2) :

105 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème b) Coefficients en amplitude

106 Les conditions aux limites Continuité du champ électrique tangentiel : Dans le plan x = 0, t : E 1 (0,t) = E 2 (0,t) Dans le plan x = 0, t : E i (0,t) + E r (0,t) = E tr (0,t)

107 Les conditions aux limites Continuité du champ magnétique tangentiel : Dans le plan x = 0, t : B i (0,t) + B r (0,t) = B tr (0,t) Dans le plan x = 0, t : n 1 [E i (0,t) – E r (0,t)] = n 2.E tr (0,t) Dans le plan x = 0, t : B 1 (0,t) = B 2 (0,t)

108 Les conditions aux limites Continuité du champ magnétique tangentiel : Dans le plan x = 0, t : n 1 (E 0 i – E 0 r ) = n 2.E 0tr Continuité du champ électrique tangentiel : Dans le plan x = 0, t : E 0 i + E 0 r = E 0tr

109 Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour le champ électrique : Coefficient de transmission pour le champ électrique :

110 Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour le champ magnétique : Coefficient de transmission pour le champ magnétique :

111 Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques 3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale a) Position du problème b) Coefficients en amplitude c) Coefficients en puissance

112

113 Si n est réel, i.e. n = 0 :

114 Les coefficients en énergie Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :


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