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La corde vibrante I) Equation de la corde vibrante 1) Le modèle.

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1 La corde vibrante I) Equation de la corde vibrante 1) Le modèle

2 Le modèle T0T0 x P || P || = || T 0 ||

3 Le modèle y x T d (x,t) T g (x,t) M x y(x,t) (x,t)

4 Le modèle 1. Lélément de la corde situé au point de coordonnées (x, 0) à léquilibre se trouve au point de coordonnées (x, y(x,t)) hors équilibre, i.e. que lon néglige son déplacement le long de laxe Ox. On sintéresse aux vibrations transversales de la corde.

5 Le modèle 2. Langle (x,t) que fait la tangente à la corde au point dabscisse x à linstant t est un infiniment petit et on se limite à lordre un. On sintéresse aux faibles mouvements transversaux.

6 Le modèle 3. Considérons une coupure fictive de la corde au point M dabscisse x ; laction exercée par la partie gauche de la corde sur la partie droite se réduit à une force de tension T g (x) tangente à la corde ; de même laction exercée par la partie droite de la corde sur la partie gauche se réduit à une force de tension T d (x). Par le principe des actions réciproques : T g (x) = – T d (x).

7 La corde vibrante I) Equation de la corde vibrante 1) Le modèle 2) Mise en équation

8 Mise en équation y(x,t) y(x + dx,t) x x + dx (x,t) (x + dx,t) T g (x,t) T d (x + dx,t)

9 Système : un brin élémentaire de corde, de masse dm constante, compris entre les abscisses x et x + dx, de longueur au repos dx, dm =.dx Référentiel : Terrestre supposé galiléen Forces : la tension T g (x) exercée par la partie gauche de la corde en x ; la tension T d (x + dx) exercée par la partie droite de la corde en x + dx.

10 Choix de la base : (O, u x, u y ) car le mouvement est plan RFD : dm. a = T d (x + dx) + T g (x) = T d (x + dx) – T d (x) dm. a =. a =

11 Les mouvements sont transversaux suivant Oy. Projection sur Ox : (T d.cos )(x,t) = Constante = (T d.cos )(L,t) Au premier ordre, (T d.cos )(L,t) = T d (L,t) = T 0 Au premier ordre, (T d.cos )(x,t) = T 0

12 Projection sur Oy :

13 Equation des cordes vibrantes

14 Couplage T dy = T d.sin = T 0.tan = T 0

15 Couplage Le couplage entre la composante transverse de la tension et la vitesse est à lorigine de la propagation. Une déformation de la corde provoque une tension qui elle-même génère une vitesse de déplacement qui génère un déplacement…

16 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert

17 La même solution générale peut être représentée par une combinaison linéaire dondes planes progressives (OPP) ou d ondes planes stationnaires (OPS).

18 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert 1) Les ondes planes progressives a) Recherche de la solution générale

19 u = x – c.t v = x + c.t y(u,v) = f(u) + g(v) y(x,t) = f(x – c.t) + g(x + c.t)

20 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert 1) Les ondes planes progressives a) Recherche de la solution générale b) Interprétation

21 Définition : Une onde est dite plane si, à un instant t donné, la grandeur caractérisant londe qui se propage est la même en tous les points dun plan ( ) perpendiculaire à la direction fixe u de propagation de londe. ( ) est un plan donde.

22 ( ) est un plan donde t, (P) = (M) u ( ) P M

23 Interprétation f(u) x1x1 x t1t1 f(u 1 ) f(u) x2x2 x t 2 > t 1 f(u 2 )

24 Cest léquation horaire dun mouvement de translation rectiligne uniforme suivant laxe Ox, dans le sens des x croissants à la célérité c. x 2 = x 1 + c(t 2 – t 1 ) > x 1 f(x – c.t) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x croissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de f.

25 Cest léquation horaire dun mouvement de translation rectiligne uniforme suivant laxe Ox, dans le sens des x décroissants à la célérité c. x 2 = x 1 + c(t 2 – t 1 ) = x 1 – c(t 2 – t 1 ) < x 1 g(x + c.t) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x décroissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de g.

26 La solution générale de léquation de propagation unidimensionnelle dite de DAlembert, Conclusion : peut sécrire sous la forme dune superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposés le long de Ox avec la même célérité c : y(x,t) = f(x – ct) + g(x + ct).

27 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert 1) Les ondes planes progressives a) Recherche de la solution générale b) Interprétation c) Cas des ondes planes progressives harmoniques

28 Finalement, londe plane progressive harmonique se propageant suivant laxe Ox dans le sens des x croissants peut sécrire : y(x,t) = A.cos( t – k.x + 0 )

29 Une onde plane progressive harmonique se propageant suivant laxe Ox dans le sens des x décroissants peut sécrire : y(x,t) = A.cos( t + k.x + 0 ) y(x,t) = A.cos( t – k.x + 0 )

30 (M) = 0 u ( ) M t x (M) = 0 u ( ) M x + dx t + dt ( ) est un plan donde

31 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes stationnaires

32 Les ondes stationnaires nœud de vibration ventre de vibration

33 La corde vibrante II) Solutions de léquation de DAlembert 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes stationnaires 3) Conclusion

34 Une O.P.P.H. peut se décomposer en deux ondes stationnaires de même pulsation de même amplitude et en double quadrature ; Conclusion Une O.P.S. peut se décomposer en deux O.P.P.H. de même pulsation, de même amplitude et se propageant en sens opposés ; Le choix de lécriture de la solution dépend du problème à étudier, en particulier des conditions aux limites.

35 La corde vibrante III) Les vibrations libres dune corde fixée à ses deux extrémités 1) Les modes propres

36 La corde vibrante III) Les vibrations libres dune corde fixée à ses deux extrémités 1) Les modes propres a) Exploitation des conditions aux limites

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38

39 La corde vibrante III) Les vibrations libres dune corde fixée à ses deux extrémités 1) Les modes propres a) Exploitation des conditions aux limites b) Les modes propres

40 Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut sécrire sous la forme dune somme infinie :

41 Mode fondamental : 1 n = 1 N N V

42 Harmonique 2 : 2 = 2 1 n = 2 N N V N V L = 2 2

43 Harmonique 3 : 3 = 3 1 n = 3 N N V N V V N 3

44 Harmonique 4 : 4 = 4 1 n = 4 N N V N VV NN V 4 L = 2 4

45 La corde vibrante III) Les vibrations libres dune corde fixée à ses deux extrémités 1) Les modes propres 2) Problème général

46 La corde vibrante IV) Les vibrations forcées dune corde fixée à une extrémité ; Ondes stationnaires et résonances 1) La corde de Melde

47 Corde de Melde à deux instants différents

48 La corde vibrante IV) Les vibrations forcées dune corde fixée à une extrémité ; Ondes stationnaires et résonances 1) La corde de Melde a) Ondes stationnaires 2) Ondes stationnaires et résonances

49 La corde vibrante IV) Les vibrations forcées dune corde fixée à une extrémité ; Ondes stationnaires et résonances 1) La corde de Melde a) Ondes stationnaires 2) Ondes stationnaires et résonances b) Les résonances


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