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Bilans thermodynamiques et mécaniques. Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales a) Système fermé et système.

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1 Bilans thermodynamiques et mécaniques

2 Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales a) Système fermé et système ouvert

3 Définitions : Un système est fermé sil néchange pas de matière avec lextérieur à travers la frontière matérielle ou non qui le délimite. Sa masse est une constante du temps. Par opposition, un système ouvert peut échanger de la matière avec lextérieur à travers la frontière qui le délimite.

4 Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales a) Système fermé et système ouvert b) Grandeurs extensives, grandeurs massiques

5 Définitions : Une grandeur extensive est une grandeur qui suit lhomothétie du système. Par opposition, une grandeur intensive reste inchangée si le système subit une homothétie.

6 Densité massique A chaque grandeur extensive scalaire ou vectorielle, X, on associe une grandeur intensive massique, x, définie par :dX = x. m où dX est la variation élémentaire de X apportée par la quantité de matière élémentaire m = D m.dt, D m étant le débit massique.

7 Densités massiques Energie interne UEnergie interne massique u dU = u. m Enthalpie HEnthalpie massique h dH = h. m Entropie SEntropie massique s dS = s. m Energie cinétique E c Energie cinétique massique e c dE c = v 2. m Moment cinétique L O Moment cinétique massique OM x v d L O = OM x v. m Quantité de mouvement P Quantité de mouvement massique v d P = v. m

8 Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales 2) Principe du bilan

9 Principe du bilan On peut découper le système fermé en trois parties : La partie commune au système fermé pour les dates t et t + dt, contenue dans une surface de contrôle 0 fixe et indéformable dans R ; La partie du système fermé qui rentre dans 0 entre les dates t et t + dt ; La partie du système fermé qui sort de 0 entre les dates t et t + dt.

10 m e m s Système fermé à linstant t : Système fermé à linstant t + dt : (t) (t + dt) Partie commune 0 (t + dt) Partie commune 0 (t)

11 En régime stationnaire : X(t + dt) – X(t) = x s. m s – x e. m e = x s.D ms – x e.D me

12 Bilans thermodynamiques et mécaniques II) Les bilans thermodynamiques 1) Bilan dénergie totale

13 Système fermé à linstant t : Partie commune 0 (t) m e m s Système fermé à linstant t + dt : Partie commune 0 (t + dt) (t) (t + dt)

14 Bilan dénergie totale E = E m + U

15 Bilan dénergie totale En régime stationnaire :

16 Bilans thermodynamiques et mécaniques II) Les bilans thermodynamiques 1) Bilan dénergie totale 2) Bilan dentropie

17 Système fermé à linstant t : Partie commune 0 (t) m e m s Système fermé à linstant t + dt : Partie commune 0 (t + dt) (t) (t + dt)

18 Bilan dentropie

19 Bilan dentropie En régime stationnaire :

20 Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse

21 Bilan de matière sur le système fermé : m(t + dt) – m(t) = m[ 0 (t + dt)] – m[ 0 (t)] + m s – m e = 0 Cette relation est toujours vraie En régime stationnaire : m[ 0 (t + dt)] = m[ 0 (t)] Finalement : m(t + dt) – m(t) = m s – m e = 0 m s = m e ou D ms = D me

22 Front donde F c Onde de choc dans une canalisation c = – c. u x, c > 0 Liquide z x Robinet O

23 Dans le référentiel R lié à la canalisation F S O z x O x v 1 = v. u x c = – c. u x v 2 = 0 P 1, 1 P 2, 2

24 Dans le référentiel R lié au front donde F S O v 1 = (v + c) u x v 2 = c. u x P 1, 1 P 2, 2 1 2

25 Dans le référentiel R lié au front donde F S O (v + c)dt F1F1 F2F2 m e m s c.dt 0 0 est fixe dans R

26 Onde dans un canal

27 Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement

28 m e m s Système fermé à linstant t : Système fermé à linstant t + dt : (t) (t + dt) Partie commune 0 (t + dt) Partie commune 0 (t)

29 Bilan de quantité de mouvement

30 En régime stationnaire : Bilan de quantité de mouvement

31 Dans le référentiel R lié au front donde F S O (v + c)dt F1F1 F2F2 m e m s c.dt 0 0 est fixe dans R

32 Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement 3) Bilan de moment cinétique

33 m e m s Système fermé à linstant t : Système fermé à linstant t + dt : (t) (t + dt) Partie commune 0 (t + dt) Partie commune 0 (t)

34 Bilan de moment cinétique

35 En régime stationnaire :

36 Bilan de moment cinétique e e2e2 e1e1 P0P0 v1v1 v v2v2 P0P0 P0P0 P0P0 g A uyuy plaque

37 Référentiel : Terrestre supposé galiléen Système : Leau contenue dans la surface de contrôle ( 0 ), la masse entrante ou sortante Actions extérieures : Les forces de pression de lair, laction de la plaque sur leau, le poids de leau négligé.

38 Référentiel : Terrestre supposé galiléen Système : Leau contenue dans la surface de contrôle ( 0 ), la masse entrante ou sortante et la plaque de masse m Actions extérieures : Le poids de leau négligé, le poids de la plaque, les forces de pression de lair, la réaction du support en A.

39 Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement 3) Bilan de moment cinétique 4) Bilan dénergie cinétique

40 m e m s Système fermé à linstant t : Système fermé à linstant t + dt : (t) (t + dt) Partie commune 0 (t + dt) Partie commune 0 (t)

41 Bilan dénergie cinétique

42 En régime stationnaire :

43 ESPRIT DU BILAN On calcule la dérivée particulaire de la grandeur extensive X de deux manières différentes :

44 Par un bilan : Par un théorème lagrangien : Puis par égalité :


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