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Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable.

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1 Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable

2 Le solide indéformable : Un solide indéformable ou idéal est un système tel que les distances mutuelles de tous ses éléments restent constantes au cours du temps.

3 M m = (M).d V Répartition continue volumique de la masse

4 M m = (M).dS Répartition continue surfacique de la masse

5 Répartition continue linéique de la masse M m = (M).d

6 M 1, m 1 M 3, m 3 M 2, m 2 Répartition discrète des masses

7 Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté dun solide

8 Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté dun solide 3) Centre dinertie et référentiel barycentrique a) Le centre dinertie

9 Le centre dinertie ou centre de masse ou barycentre G dun solide (S) de masse m est lunique point défini par la relation : Définition :

10 Pour un solide à répartition de masse continue, de densité volumique de masse (M) :

11 Avec une origine O arbitraire :

12 Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté dun solide 3) Centre dinertie et référentiel barycentrique a) Le centre dinertie b) Le référentiel barycentrique

13 Le référentiel barycentrique : On appelle référentiel barycentrique ou référentiel de Kœnig R* relatif au référentiel R, le référentiel de centre G animé dun mouvement de translation par rapport à R.

14 Le référentiel barycentrique O x y z (R) G x y z R* à la date t 1 G x y z R* à la date t 2

15 Cinématique du solide II) Champ de vitesse dun solide 1) Rappels sur les dérivations

16 O x y z (R) O x y z Dérivations avec changement de référentiel

17 Cinématique du solide II) Champ de vitesse dun solide 1) Rappels sur les dérivations 2) Relation de Varignon

18 O x y z (R S ) Solide (S) La relation de Varignon O x y z (R) M P V (M/R) = V (P/R) + MP x

19 Cinématique du solide II) Champ de vitesse dun solide 1) Rappels sur les dérivations 2) Relation de Varignon 3) Décomposition du mouvement

20 Décomposition du mouvement Dans un référentiel barycentrique R*, le solide (S) possède un mouvement de rotation pure autour de G

21 Décomposition du mouvement La loi de la composition des vitesses : v (M) = v e (M) + v* (M) = v (G) + v* (M), montre que létude du mouvement du solide (S) peut se décomposer en deux mouvements élémentaires :

22 Décomposition du mouvement Létude du mouvement de G dans R qui traduit la translation densemble du solide ; Létude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

23 Cinématique du solide III) Éléments cinétiques dun solide 1) Résultante cinétique dun solide

24 Définition : La résultante cinétique dun solide dans un référentiel R dorigine O fixe par la relation :

25 La résultante cinétique P dun solide (S) dans un référentiel R est égale à la quantité de mouvement dun point matériel fictif situé au centre dinertie G du solide et affecté de la masse totale du solide (S) dans R : P = m. v (G/R).

26 Cinématique du solide III) Éléments cinétiques dun solide 1) Résultante cinétique dun solide 2) Moment cinétique dun solide a) Moment cinétique par rapport à un point

27 Rappel : Un moment vectoriel dune grandeur vectorielle A sappliquant en M et calculé en O dans R : M O ( A /R) = OM x A.

28 Définition : On définit le moment cinétique dun solide (S) dans un référentiel R par rapport à un point arbitraire O, mobile ou fixe par la relation :

29 L O = L O + OO x P Propriété :

30 Cinématique du solide b) Moment cinétique par rapport à un axe III) Éléments cinétiques dun solide 1) Résultante cinétique dun solide 2) Moment cinétique dun solide a) Moment cinétique par rapport à un point

31 Définition : L (S/R) = L = L O. u On définit le moment cinétique dun solide dans un référentiel R par rapport à un axe passant par un point O de direction définie par le vecteur unitaire u par la relation :

32 u Moment cinétique par rapport à un axe O LOLO L L (S/R) = L = L O. u

33 Cinématique du solide III) Éléments cinétiques dun solide 1) Résultante cinétique dun solide 2) Moment cinétique dun solide 3) Énergie cinétique dun solide

34 Définitions : Energie cinétique de (S) dans R : Energie cinétique barycentrique de (S) :

35 Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig

36 Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig 1) Premier théorème de Kœnig

37 Premier théorème de Kœnig Le moment cinétique L O en O dun solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égal à la somme : Du moment cinétique barycentrique L* du solide ; Du moment cinétique en O dun point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R, OG x m. v (G). L O = L* + OG x m. v (G) = L* + OG x P

38 Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig 1) Premier théorème de Kœnig 2) Second théorème de Kœnig

39 Second théorème de Kœnig Lénergie cinétique E c dun solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égale à la somme : De lénergie cinétique barycentrique du système (S), E c * ; De lénergie cinétique dun point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R. E c = E c * + m.v 2 (G)

40 Décomposition du mouvement Comme la loi de composition des vitesses qui a été utilisée dans les deux démonstrations, les deux théorèmes de Kœnig montrent que létude du mouvement du solide (S) dans R peut se décomposer en deux mouvements élémentaires plus simples :

41 Décomposition du mouvement Létude du mouvement de G affecté de toute la masse du solide dans R qui traduit la translation densemble du solide ; Létude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

42 Cinématique du solide V) Solide en rotation autour dun axe de direction fixe

43 Solide en rotation autour dun axe fixe (S) x y z urur u uzuz M r H

44 Cinématique du solide V) Solide en rotation autour dun axe de direction fixe 1) Moment dinertie dun solide par rapport à un axe

45 Dans le cas du mouvement dun solide (S) en rotation autour dun axe a priori mobile de direction fixe, son moment cinétique par rapport à, L, son énergie cinétique E c et vérifient les relations : L = J. E c = J. 2

46 Cinématique du solide V) Solide en rotation autour dun axe de direction fixe 1) Moment dinertie dun solide par rapport à un axe 2) Moments dinertie élémentaires

47 La boule homogène de masse m, de rayon R : Moment dinertie par rapport à un axe G passant par G : La barre homogène de masse m, de longueur : Moment dinertie par rapport à la médiatrice :

48 Le disque homogène ou cylindre homogène de masse m, de rayon R : Moment dinertie par rapport à laxe de révolution, G : Le cerceau homogène de masse m, de rayon R : Moment dinertie par rapport à laxe de révolution, G : J G = mR 2

49 Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions

50 I2I2 I1I1 I S1S1 S2S2 2 1 ( ) Contact entre deux solides I 2 de (S 2 ) possède la trajectoire ( 2 ) sur (S 2 ) ; I 1 de (S 1 ) possède la trajectoire ( 1 ) sur (S 1 ) ; I de ( ) possède une trajectoire ( ) dans lespace car ( ) change à chaque instant.

51 Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement

52 I2I2 I1I1 I S1S1 S2S2 ( ) Décomposition du mouvement : Vitesse de glissement N pivotement T roulement glissement v g (I)

53 G I2I2 A G I2I2 G I2I2 G I2I2 Non – glissement Glissement AC périmètre AB = périmètre B G I2I2 G I2I2 A G I2I2 C

54 Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement 3) Exemples a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

55 Disque roulant sur un plan horizontal fixe O y x z G A I vGvG

56 Photographie de la distribution des vitesses O y x z I v(M) = IM. : sur un arc de cercle de centre I, v = Cste

57 Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement 3) Exemples a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe b) Second exemple : Cylindre roulant sur un cylindre fixe

58 Cylindre roulant sans glissement sur un autre cylindre u z O G I (C 1 ) (C 2 ) urur u x


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