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II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES. II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES. Objectif : Définir le moment dune force par rapport à un point. Développer la notion.

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1 II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES. II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES. Objectif : Définir le moment dune force par rapport à un point. Développer la notion de vecteur-moment et de moment dune force par rapport à un axe. Prérequis : Produit vectoriel. Notion de force. Les effets dune force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps.

2 Si la force ( poussée des moteurs.) passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé dun mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré de même direction que (fig. a). Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé dun mouvement de translation et un mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de linclinaison des moteurs ou de la distance d (fig. b). Pour traduire avec précision les effets dune force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de faire intervenir la notion de moments.

3 A ) Moment dune force par rapport à un point. 1°) Définition. Le moment de le force F par rapport au point A, noté M A (F) = a) Convention de signe. Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif. Si F est dans lautre sens, le moment devient négatif (cest le cas de la navette autour du point G). F. d

4 Remarque : Si B est le point dapplication de F et si la longueur AB est connue, M A (F) peut être calculé par : M A (F) = en remarquant que : AB.sin = d F. d = F. ( AB. sin ) M A ( F )

5 b) Exemple : Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de linclinaison de leffort B 3/2 exercé par la main de lopérateur. Si AB est perpendiculaire à B 3/2. Si = 60° : Si = 45° : M A (B 3/2 ) = B 3/2. d = B 3/2. AB M A (B 3/2 ) = ,2 = 20 Nm M A (B 3/2 ) = B 3/2. d 1 = B 3/2. AH 1 M A (B 3/2 ) = 100. (0,2.sin 60°) = ,17 = 17 Nm M A (B 3/2 ) = B 3/2. d 2 = B 3/2. AH 2 M A (B 3/2 ) = 100. (0,2.sin 45°) = ,14 = 14 Nm

6 2°) Théorème de Varignon. Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V par rapport au même point. M A (F) = Pour le cas de la figure : M A (F)= F. d F. d = M A (U) + M A (V) = -(U.du) + V.dv

7 Exemple : Déterminons M A (F). Fx = F.cos60° = cos60° = ,5 = 500 N et Fy = F.sin60° = 1000.sin60° = ,866 = 866 N Ma(F) = -(Fx.0,1) + Fy.0,16 Ma(F) = -(500.0,1) ,16 = ,6 = 88,6Nm

8 B ) Vecteur moment. 1°) Définition. Soit un point B, quelconque, appartenant à la direction de la force F. Le moment en A de F est défini par le vecteur : Ma(F) = Ma(F) est un vecteur à la fois perpendiculaire à F et à AB. Il ce caractérise géométriquement par : F. d Ou F. ( AB. Sin θ ) * Son point dapplication. A * Sa direction. perpendiculaire au plan A,B,H. * Son sens positif ou négatif sur laxe Z. * Sa norme Ma(F) = F.den Nm.

9 Remarque : AB, F et Ma(F) suivent la règle des trois doigts de la main droite (ou règle du tire bouchon). Le produit vectoriel nest pas commutatif. AB F = Ma(F) = 0 si : la norme F = 0 N la distance d = 0 m langle = 0° Cest a dire que la direction de la force F passe par A. - F AB

10 2°) Détermination analytique du moment dune force. Dans le repère (0,x,y,z ) : Coordonnées du point A (xa, ya, 0) et B (xb, yb, 0). Composante de F 1/2 (XF 1/2, YF 1/2, 0). Le moment au point A de la force F 1/2 peut être déterminé analytiquement par : AB F=Ma(F 1/2 ) L 1/2 = M 1/2 = N 1/2 = L 1/2 moment de la force F 1/2 par rapport à laxe (0,x). M 1/2 moment de la force F 1/2 par rapport à laxe (0,y). N 1/2 moment de la force F 1/2 par rapport à laxe (0,z). Le moment par rapport à un axe est nul si le support de la force est sécant ou parallèle à cet axe. Xa Ya 0 XF 1/2 YF 1/2 0 (Xa.YF 1/2 ) – (Ya.XF 1/2 )

11 C ) Moment résultant de plusieurs forces. Le moment résultant M A (F) en un point A de n forces F 1,F 2,F 3....,F n est égal à la somme des moments en A de chacune des forces. M A (F) = M A (F 1 ) + M A (F 2 ) + M A (F 3 ) + ……+M A (F n ) Si les forces appartiennent toutes à un même plan (sont coplanaires), le moment peut être écrit sous la forme algébrique. M A (F) = D ) Variation du moment dun point à un autre. Soit un autre point D nappartenant pas au support de la force F 1/2. Le moment en D de F 1/2 est : M D (F 1/2 ) + (F 1. d 1 ) + (F 2. d 2 ) + (F 3. d 3 ) + ……+ (Fn. dn) M D (F 1/2 ) = M A (F 1/2 ) + DA ^ F 1/2

12 E ) Exemple : Balance romaine. Une balance romaine se compose dun balancier 2 articulé en O (pivot) sur un crochet 1 lié à un support fixe et dune masse déquilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5 daN. La masse à peser ou le poids P, est suspendue en B par lintermédiaire dun crochet 4. Si a = 700mm, déterminons la valeur de P.

13 Somme des M O =0 M O (P) + M O (O) + M O (Q) = 0 + (P.OB) + (O.OO) - (Q.OQ) = 0 + (P.0,1) + 0 – (50.0,7) = 0 P = (50.0,7) / 0,1 = 350 N


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