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2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent.

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1 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

2 Systèmes de coordonnées Cartésiennes (1D, 2D, 3D) Cylindriques (3D) Polaires (2D) Sphériques (3D) Position de M définie par des coordonnées : Quelconque, glissière rectiligne Symétrie de révolution (axe), glissière circulaire Symétrie autour d1 point fixe

3 Coordonnées cartésiennes M N dans le plan z selon Oz N x selon Ox y selon Oy M(e x, e y, e z ) appelé repère local O M y z x N x(t) y(t) z(t) = coord. cartésiennes

4 Coordonnées cartésiennes (2) Dans le déplacement de M, e x, e y et e z : –Gardent la même longueur (norme =1) –Gardent même direction et sens Pour lobservateur « attaché à » O(i, j, k) de x /dt=0 de y /dt=0 de z /dt=0

5 Coordonnées cylindriques M N dans le plan z selon Oz N repéré par : θ(t) = (i, ON) r(t) = ON r(t) (t) z(t) = coord. cylindriques O M N θ(t) z(t)

6 Coordonnées cylindriques (2) Lien avec les coord. cartésiennes : z(t) identique ON fait θ(t) avec Ox => x(t) = r(t)cos θ(t) ON fait π/2 - θ(t) avec Oy => y(t) = r(t)sin θ(t) ou : r(t) = x² + y²θ(t) = tan -1 (y/x)

7 Coord. Cylindriques (3) Vecteur position : x(t)y(t) OM = r(t)cos θ(t) i + r(t)sin θ(t) j + z(t) k ou OM = r(t) {cos θ(t) i + sin θ(t) j } + z(t) k (1)

8 Repère local associé e r // ON, norme = 1 e r = ON / r(t) (2) e θ fait +π/2 dans le plan horizontal passant par M e z = e r ^ e θ e z = k O M N θ(t) z(t)

9 Expression de la base locale Vecteur position : OM = ON + NM = r(t) e r + z(t) k comparé avec (1) : e r = cos θ(t) i + sin θ(t) j (3) notation « juste » e r (θ) ou e r (θ(t)) !

10 Expression de la base locale (2) e θ = e r (θ+π/2) = cos (θ+π/2) i + sin (θ+π/2) j e θ = - sinθ(t) i + cos θ(t) j (4) θ erer eθeθ

11 Application du produit vectoriel e r ^e θ = k ?

12 Évolution de la base locale Dans le déplacement de M, e r, e θ et e z : –Gardent la même longueur (norme =1) –e r, e θ changent de direction (θ variable) Pour lobservateur attaché à O(i, j, k) de r /dt 0 de θ /dt 0 de z /dt =0

13 Évolution de la base locale (2) (3) : e r = cos θ(t) i + sin θ(t) j de r /dt = - sinθ(t) × θ i + cos θ(t) × θ j (4) : e θ = - sin θ(t) i + cos θ(t) j de θ /dt = - cosθ(t) × θ i - sin θ(t) × θ j de r /dt = θ e θ ; de θ /dt = - θ e r

14 Application.. En coord. cylindriques, repère de dérivation repère d écriture ! Règle de dérivation habituelle FAUSSE !! V 1 = 10t e r + 4t² e z avec θ(t) = 3t dV 1 /dt = 10e r + 8t e z ? dV 1 /dt = (10t e r )' + (4t²e z )' = 10 e r + 10t (de r /dt) + 8t e z = 10e r + 30t e θ + 8t e z

15 Coordonnées polaires Restriction dans un plan horizontal (z= cste ou z=0) des coordonnées cylindriques –r(t) appelé rayon polaire –θ(t) angle polaire

16 Coordonnées sphériques M repéré par : 2 angles θ(t), φ(t) sa distance r(t) = OM O M r N Repère local e r, e θ, e φ

17 Coordonnées sphériques (2) Utilisé en ELM (ondes …) Coordonnées géographiques : –Latitude = π/2 – θ –Longitude = φ φ Méridien de Greenwich

18 trajectoire –Ensemble des points (positions) occupées par M lors du mouvement –Liée à lobservateur (notion relative) Équation de la trajectoire : f(x,y,z) ou g(r,θ) … Exemple : y(x) = x², x² + y² = 4 r(θ) = p / (1+ e cos θ)

19 Trajectoire (2) Trajectoire paramétrique (lois horaires) Ensemble des lois x(t), y(t), z(t) ou r(t) θ(t) z(t) …. + domaine de variation de t x(t) = 1 + t (m) y(t) = t² z(t) = 4/3 t 3/2 0 t 2 (s)

20 t=2s t=0

21 Abscisse curviligne Mesure de la longueur sur une trajectoire de t 0 à t 1 notation OM ( OM) ou s(t) M 1 M 2 = OM 2 – OM 1 = s(t 2 ) – s(t 1 ) méthode de calcul ?

22 Abscisse curviligne (2) s(t 1 ) s(t 2 )

23 Vecteur tangent à la trajectoire T colinéaire à v(M), || T || = 1 T = v(M) / vv = || v(M) ||

24 Vecteur tangent (2) v(M) T

25 Vecteur tangent (3) # Exemple x(t) = t y(t) = 1 + t² 0 t 4 …… T x = 1/ 1+4t² T y = 2t/ 1+4t²


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