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Mécanique du Point LMD - Sciences et Technologie 1 ère Année Semestre 1 Unité Fondamentale 1 Module: Physique 1 2004/2005.

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1 Mécanique du Point LMD - Sciences et Technologie 1 ère Année Semestre 1 Unité Fondamentale 1 Module: Physique /2005

2 PROGRAMME ET CALENDRIER 2004/2005 I.Notions de Base ( 26 Septembre ) 4 c II.Rappels Mathématiques ( 10 Octobre ) 8 c III.Cinématique du Point ( 7 Novembre ) 6 c IV.Dynamique du Point ( 28 Novembre ) 6 c V.Travail et Énergie ( 2 Janvier ) 6 c (Arrêt de cours le 16 décembre, Reprise le 2 Janvier)

3 I.Notions de base 1.Les unités 2.Notation scientifique 3.Chiffres significatifs 4.Graphes 5.Trigonométrie

4 Le système métrique de mesure est le Standard International Les Unités Fondamentales de mesure sont: La seconde (s) pour la mesure du temps Le mètre (m) pour la mesure des distances Le kilogramme (kg) pour la mesure des masses 1. Les unités

5 Il faut savoir convertir dune unité à lautre ! Exemples: 1 heure (h) = 60 minutes (mn) = 3600 secondes (s) 100 centimètres (cm) = 1 mètre (m) 1000 grammes (g) = 1 kilogramme (kg)

6 Autres exemples: 1 jour = 24 h = s 1 km = 1000 m = cm = mm 1 tonne = 1000 kg = g

7 En essayant dexprimer des nombres très grand comme celui de la masse de la terre, ou un nombre très petit comme la masse dun électron, les scientifiques utilisent ce quon appelle la notation scientifique. La forme de base de la notation scientifique est M 10 n où : M est un nombre réel entre 1 et 10 n un entier 2. Notation scientifique

8 10 0 = = = = = = = 1 / 10 = = 1 / 10 / 10 = = 1 / 10 / 10 / 10 = 0.001

9 Par exemple, la masse de la Terre est denviron kg Exprimée en notation scientifique: kg Aussi, la masse dun électron est de: kg et exprimée en notation scientifique: kg

10 Les chiffres significatifs dun nombre représentent les chiffres valides dun nombre. Règles: 1.Les chiffres non nuls sont toujours significatifs. 2.Tous les zéros finaux après la virgule sont significatifs. 3.Les zéros entre deux chiffres significatifs sont significatifs. 4.Les zéros utilisés seulement pour déplacer la virgule ne sont pas significatifs. 3. Chiffres significatifs

11 Nombre Chiffres Significatifs = = = = = = Exemples:

12 4. Graphes Il y a trois types de relation mathématique les plus communes en physique: 1) Relation linéaire: y = a x + b y = 3x+5

13 2) Relation quadratique: y = a x 2 + b x + c y = 0.5 x 2 +x+1

14 3) Relation inverse: y = k / x y = 6/x

15 5. Trigonométrie sin = opposé / hypoténuse tan = opposé / adjacent cos = adjacent / hypoténuse VECTEURS Triangle opposé hypoténuse adjacent

16 II.Rappels mathématiques 1.Les vecteurs 2.Produit scalaire 3.Produit vectoriel 4.Vecteur position 5.Changements de base 6.Bases locales

17 1. Les Vecteurs Le temps La distance La masse Physique Grandeurs Scalaires Température Charge électrique Etc. Déplacement Vitesse Accélération Force Grandeurs Vectorielles

18 Déplacement A B On part de A puis on arrive à B en ligne droite AB Vecteur déplacement (ou simplement vecteur) Attention ! AB et BA ne sont pas les mêmes

19 Propriétés du Vecteur Déplacement A B 5 m C Déplacement = = 5 m Distance = = 7 m 3 m (se déplacer de A à B)puis(se déplacer de B à C) égale à (se déplacer de A à C) 4 m

20 Propriétés du Vecteur Déplacement A B C (se déplacer de A à B) puis égale à (se déplacer de A à C) (se déplacer de B à C) ABBC AC+ = Relation de Chasles

21 Propriétés des Vecteurs a)Commutativité: a + b = b + a b)Associativité: a + (b + c) = (a +b) + c c)Élément neutre: a + 0 = 0 + a = a d)Opposé de a est noté –a e)Etc. MECANIQUE I David Sénéchal NOTES DE COURS (PHQ-110) Lire le Chapitre 1 Pages 1 à 7

22 Un Vecteur V possède une grandeur (module, norme ou longueur) une direction (porté par une droite) et un sens. Module: V, V, ou V Deux vecteurs sont égaux sils possèdent la même direction, le même sens, et le même module.

23 a 2 a Même direction, même sens et un module deux fois plus grand a Même direction, sens opposé et un module deux fois plus petit. a Nimporte quel vecteur de même direction que a Et celui la ? b NON ! On dit que a et b sont linéairement indépendants

24 a b a b a -b a + ba - b2 a b a 2a b 0.5 b a + b Nimporte quel vecteur du plan

25 a b c Peut on écrire c = a + b ? NON ! On dit que a, b et c sont linéairement indépendants a b c a + b + c

26 Les trois exemples précédents Représentent des espaces vectoriels de: Mais on peut généraliser à N dimensions Une dimension (1D) : v = a Trois dimensions (3D): v = a + b + c Deux dimensions (2D): v = a + b

27 On dit que a b c forment une base. Sils sont perpendiculaires deux à deux ils forment une base orthogonale Et si en plus, ils sont de norme unité: ils forment une base orthonormée Généralement notés: i j k v = x i + y j + z k x, y et z sont les coordonnées de v

28 2. Le produit scalaire a. b = a b cos a b a. a = a a cos 0 = a 2 a. a = a 2 i. i = 1 Vecteur normé i. j = 0 Vecteurs orthogonaux

29 Main droite 3. Le produit vectoriel a b = c c = a b sin a b c c c représente laire du Parallélogramme

30 Quelques propriétés du produit vectoriel a b = - b aa a = 0i i = 0i j = k i j k i j k

31 Exemples a = i – 2 j x x y y o Repère (o, i, j) i j a

32 Exemples a = ? a. i = || a || || i || cos a = i – 2 ja. i = ( i – 2 j ). i= i. i – 2 j. i = 1 a. i = cos cos = 1/ x x y y o i j 63°

33 Remarque a = a x i + a y j x x y y o i j a axax ayay a x = a cos a y = a sin tg = a y /a x a = a x + a y 2 2

34 Autre remarque i j = kj k = ik i = jj i = - kk j = - ii k = - j i j k +

35 a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k c = c x i + c y j + c z kExercice c x = a y b z – a z b y c y = a z b x – a x b z c z = a x b y – a y b x c = a b Calculerdans le cas général où: x y z Et montrer que:

36 c x = a y b z – a y b z c y = a z b x – a z b x c z = a x b y – a x b y c = a b xyzzy yzxxz zxyyx x y z

37 4. Le vecteur position Choisir une origine o p r op = Vecteur position de p par rapport à o r Noté par o' r 'r ' o'p = Vecteur position de p par rapport à o' Noté parr 'r ' oo' = Vecteur position de o' par rapport à o Noté parroro roro

38 o p r o' r 'r ' roro rroro r 'r '=+ Relation entre l'ancien et le nouveau vecteur position: q s s' sroro s 's '=+ Si on fait la différence sr 'r '=--rs 's ' La différence entre deux vecteurs positions ne dépend pas du choix de l'origine: (vitesse, accélération,force,etc.)

39 o 5. Changements de base i j M OM = x i + y j x y o i j x y O M = OO + OM

40 Le passage de : OM = x i + y j à : est appelé changement de base. En physique, il est utile de savoir passer dune base à une autre. Certains problèmes sont plus faciles à résoudre si la bonne base est choisie.

41 o Exemple: i j u v M changement de la base (i, j) à la base (u,v) OM = x i + y j OM = u + v Montrer que: x = cos - sin y = sin + cos

42 OM. i = u. i + v. i = cos - sin i. u = cos i. v = cos( + /2) = - sin j. u = cos( - /2) = sin j. v = cos OM. j = u. j + v. j = sin + cos x = OM. i et y = OM. j

43 Coordonnées Cartésiennes: i j M o x y

44 6. Bases locales Une base qui varie dun point à un autre. Coordonnées Polaires: urur u i j M o

45 6. Bases locales Une base qui varie dun point à un autre. Coordonnées Polaires: i j urur u M o

46 6. Bases locales Une base qui varie dun point à un autre. Coordonnées Polaires: urur u i j M o On montre que: x = r cos y = r sin r Exprimer (u r, u ) en fonction de (i, j)

47 Dans le système de coordonnées polaires, tout point du plan est repéré par ses deux coordonnées (r, θ) OM = x i + y j OM = r u r Les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques sont des extensions des coordonnées polaires à lespace à 3 dimensions.

48 Coordonnées cartésiennes en 3D i j k z y x (x, y, z) M M O OM = x i + y j + z k

49 Coordonnées Cylindriques i j k ( ρ, θ, z) ρ z M M OM = ρ u ρ + z k

50 Coordonnées Cylindriques (Base) i j k ρ M OM = ρ u ρ + z k uρuρ uθuθ k (u ρ, u θ, k)

51 Coordonnées Cylindriques (Relations) OM = ρ u ρ + z k = x i + y j + z k ρ u ρ = x i + y j Donc: ρ 2 = x 2 +y 2 x = ρ cos θ y = ρ sin θ u ρ = cosθ i + sinθ j u θ = - sinθ i + cosθ j Remarque: u ρ = u ρ (θ) u θ = u ρ (θ+π/2)

52 Coordonnées Sphériques i j k (r, θ, φ) r M M

53 Coordonnées Sphériques (Base) i j k (u r, u θ, u φ ) r urur uθuθ uφuφ uφuφ

54 Coordonnées Sphériques (Relations) OM = r u r = x i + y j + z k Donc: r 2 = x 2 +y 2 +z 2 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ On montre facilement u r = sinθ cosφ i + sinθ sinφ j + cosθ k u θ = cosθ cosφ i + cosθ sinφ j - sinθ k u φ = -sinφ i + cosφ j

55 (x, y, z) (i, j, k) (ρ, θ, z) (u ρ, u θ, k) (r, θ, φ) (u r, u θ, u φ ) OM=x i + y j + z kOM = ρ u ρ + z kOM = r u r OM=x i + y jρ = ||OM|| θ = angle(i, OM) r = ||OM|| θ = angle(k, OM) φ = angle(i, OM) u = OM/||OM||u ρ = OM/ρ = u u θ = u ρ (θ+ π/2) u r = OM/r u θ = u r (θ+ π/2) u φ = u(φ + π/2) Cartésiennes Cylindriques Sphériques

56 III. Cinématique du Point 1.Position dépendant du temps et notion de Référentiel 2.Dérivée dun vecteur: vitesse et accélération 3.Vitesse et accélération dans différentes bases 4.Le mouvement relatif. Dimanche 07/11/2004

57 O 1. Position dépendant du temps et Notion de Référentiel Pour décrire la position dun point nous avons besoin dun repère: repère = origine + base M Vecteur OM

58 O Si le point M est en mouvement : le Vecteur OM dépend du temps OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Mais (i, j, k) dépendent ils du temps ? Dans certains cas oui.

59 « Un corps est en mouvement, donc sa position dépend du temps. » Cette phrase, est elle juste ? Cette phrase nest ni juste ni fausse, cela dépend de qui observe ce corps. Doù la nécessité dintroduire en physique la notion dobservateur. Lobservateur est en quelque sorte le témoin du temps. Donc, pour décrire le mouvement dun corps nous avons besoin d un repère + un observateur un repère + un observateur = un référentiel

60 O Le repère est lié à lobservateur Les vecteurs de base et lorigine sont fixes par rapport à lobservateur

61 1.Dérivée dun vecteur: vitesse et accélération Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps On choisit un référentiel ( R ) dorigine O. O t1t1 t2t2 M 1 M 2 t M Un mobile M se déplace.

62 1.Dérivée dun vecteur: vitesse et accélération Nous discutons ici la dérivée par rapport au temps t1t1 t2t2 M 1 M 2 OM 1 = OM(t 1 ) OM 2 = OM(t 2 ) t M O On choisit un référentiel ( R ) dorigine O. Un mobile M se déplace.

63 Définition: La vitesse moyenne du mobile est donnée par: V m = t 2 - t 1 OM(t 2 ) - OM(t 1 ) O M 1 M 2 V m // M 1 M 2

64 A la limite où t 1 et t 2 sont des instants très rapprochés, on définit la vitesse instantanée: V(t 1 ) = lim t 2 - t 1 OM(t 2 ) - OM(t 1 ) t 2 t 1 f(x 1 ) = lim x 2 - x 1 f(x 2 ) - f(x 1 ) x 2 x 1 Comparer avec:

65 O M 1 M 2 O M 1 M 2 La vitesse instantanée est tangente à la trajectoire

66 Souvent on note: dx df(x) f(x ) = Et la vitesse instantanée peut sécrire aussi: V(t ) = dt dOM(t ) En pratique, dériver un vecteur revient à dériver ses composantes: Exemple: OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

67 V(t ) = dt dOM(t ) dt d [ x(t) i + y(t) j + z(t) k ] = = dt d [ x(t) i] + dt d [ y(t) j] + dt d [ z(t) k] O dt d i dt d j dt d k = == 0 V(t ) = dt d x(t) i + dt d y(t) j + dt d z(t) k

68 V =V = dt dOM R et V =V = dt d x i + dt d y j + dt d z k dt d i dt d j dt d k = == 0 Le « R » exprime le fait que En conclusion, dans un référentiel (R) lié à une base (i, j, k) :

69 Définition: Laccélération moyenne est donnée par: m = t 2 - t 1 V(t 2 ) - V(t 1 ) Laccélération instantanée est donnée par: = lim t 2 - t 1 V(t 2 ) - V(t 1 ) t 2 t 1 Mardi 09/11/2004

70 = dt dV R Et donc: dans un référentiel (R) lié à une base (i, j, k), c-à-d: dt d i dt d j dt d k = == 0 En général: V = V x i + V y j + V z k = dt d V x i + dt d V y j + dt d V z k Et donc:

71 Exemple 1: OM = 3 t i + 2 t j V = 3 i + 2 j = 0 i j t = 0 ; x = 0 ; y = 0 t = 1 ; x = 3 ; y = 2 t = 2 ; x = 6 ; y = 4 t = 3 ; x = 9 ; y = 6 t = 4 ; x = 12 ; y = 8 La trajectoire est une droite: Le mouvement est rectiligne

72 Exemple 1: OM = 3 t i + 2 t j V = 3 i + 2 j = 0 i j t = 0 ; V x = 3 ; V y = 2 t = 1 ; V x = 3 ; V y = 2 t = 2 ; V x = 3 ; V y = 2 t = 3 ; V x = 3 ; V y = 2 t = 4 ; V x = 3 ; V y = 2 Le vecteur vitesse est constant: Le mouvement est rectiligne uniforme

73 Exemple 2: OM = 0.75 (- t 2 +8 t) i (-t 2 +8 t) j V = 1.5 ( -t + 4) i + (- t + 4) j = -1.5 i - j i j t = 1 ; x = 5.25 ; y = 3.5 t = 3 ; x = 11.25; y = 7.5 t = 4 ; x = 12 ; y = 8 t = 2 ; x = 9 ; y = 6 t = 0 ; x = 0 ; y = 0 La trajectoire est une droite: Le mouvement est rectiligne

74 Exemple 2: OM = 0.75 (- t 2 +8 t) i (-t 2 +8 t) j V = 1.5 ( -t + 4) i + (- t + 4) j = -1.5 i - j i j t = 0 ; V x = 6 ; V y = 4 t = 1 ; V x = 4.5 ; V y = 3 t = 2 ; V x = 3 ; V y = 2 t = 4 ; V x = 0 ; V y = 0 t = 3 ; V x = 1.5 ; V y = 1 Le vecteur accélération est constant: Le mouvement est rectiligne uniformément varié

75 Exemple 3: OM = 5 cos t i + 5 sin t j V = - 5 sin t i + 5 cos t j = - 5 cos t i – 5 sin t j OM. V = 0 i j 0 V. OM t = V x = - 3 ; V y = 4 Vérifier que pour tout t : M x = 4 ; y = 3 x = - 4 ; y = - 3

76 Exemple 3: OM = 5 cos t i + 5 sin t j V = - 5 sin t i + 5 cos t j = - 5 cos t i – 5 sin t j OM. V = 0 i j 0 V. OM t = V x = - 3 ; V y = 4 Vérifier que pour tout t : M x = 4 ; y = 3 x = - 4 ; y = - 3

77 3. Vitesse et accélération dans différentes bases Coordonnées Polaires: OM = r u r u r = cosθ i + sinθ j u θ = - sinθ i + cosθ j Dans le référentiel (R) lié à la base (i, j, k) : V =V = dt dOM R = dt d ( r u r ) = dt drdr urur + r dt durdur

78 durdur d (cosθ i + sinθ j) = dt = d cosθ dt d sinθ dt i + j mais, d cosθ dt = - sinθ dθdθ dt et d sinθ dt = cosθ dθdθ dt donc dt durdur = dθdθ ( - sinθ i + cosθ j ) dt durdur = dθdθ u c-à-d

79 En coordonnées polaires: Notation: dt drdr = r. et dt d =. V = drdr urur + r dθdθ dt u V = r u r + r u.. Exercice Montrer que: = ( r – r ) u r + (2 r r u..... Devoir à rendre le Mardi 16/10/2004

80 Coordonnées Cylindriques: OM = u + z k u = cosθ i + sinθ j u θ = - sinθ i + cosθ j Dans le référentiel (R) lié à la base (i, j, k) : V =V = dt dOM R = dt d u + d u + k dt dz En coordonnés cylindriques la vitesse est: V = dt d u + dθdθ u k dz dt Mardi 16/11/2004

81 Et laccélération: V = u + u + z k... = ( – ) u + (2 u + z k.....

82 Remarques à propos de la dérivée des vecteurs unitaires dans les coordonnées cylindriques: u = u θ k Sachant que: dt du = θ k u. dt duθduθ = θ k u. et Si on a un vecteur quelconque A : A = A u + A θ u θ + A z k, on a:

83 A u + A θ u θ + A z k + θ k A dAdA dt =.... On calcul la dérivée de A en dérivant dabord ses composantes comme dhabitude puis on ajoute le terme θ k A qui tient compte du fait que la base est locale.. Par exemple, on retrouve facilement laccélération: u + ( θ + θ ) u θ + z k + θ k ( u + θ u θ + z k ) dV dt =.....

84 Coordonnés Sphériques: OM = r u r Avec: u r = sinθ cosφ i + sinθ sinφ j + cosθ k V =V = dt dOM R = dt d ( r u r ) = dt drdr urur + r dt durdur. durdur = cosθ θ cosφ i - sinθ sinφ φ i + cosθ θ sinφ j + sinθ cosφ φ j - sinθ θ k....

85 u θ = cosθ cosφ i + cosθ sinφ j - sinθ k u φ = -sinφ i + cosφ j dt durdur = cosθ θ cosφ i + cosθ θ sinφ j - sinθ θ k - sinθ sinφ φ i + sinθ cosφ φ j..... Rappel: durdur. dt = θ u θ + sinθ φ u φ. Donc: V = r u r + r θ u θ + r sinθ φ u φ... Et:

86 dt duθduθ = - sinθ θ cosφ i - sinθ θ sinφ j - cosθ θ k - cosθ sinφ φ i + cosθ cosφ φ j..... Pour calculer laccélération, on a besoin de: c-à-d: et: dt duθduθ = - θ u r + cosθ φ u φ.. dt duφduφ = - cosφ φ i – sinφ φ j = - φ (cosφ i + sinφ j) = - φ (sinθ u r + cosθ u θ ).... À vérifier

87 r u r + r θ u θ + r sinθ φ u φ )... = dt dV R = d dt (.... = r u r + r (θ u θ + sinθ φ u φ ) + (r θ + r θ) u θ + r θ (- θ u r + cosθ φ u φ ) + (r sinθ φ + r cosθ θ φ + r sinθ φ ) u φ - r sinθ φ 2 (sinθ u r + cosθ u θ ) = ( r + r θ 2 – r sin 2 θ φ 2 ) u r + (r θ +2 r θ - r sinθ cosθ φ 2 ) u θ + (r sinθ φ + r cosθ θ φ + 2 r sinθ φ ) u φ Et donc:

88 Remarques à propos de la dérivée des vecteurs unitaires dans les coordonnées sphériques: durdur. dt = ( θ u φ - sinθ φ u θ ) u r. u r = u θ u φ dt duθduθ = ( θ u φ + cosθ φ u r ) u θ.. (- sinθ φ u θ + cosθ φ u r ) u φ duφduφ dt =.. On sait que:, donc:

89 Ω = (cosθ φ u r - sinθ φ u θ + θ u φ... Ω 2 = φ 2 + θ 2.. Donc, pour ces trois vecteurs on a: Avec: Notons que: En général si on a un vecteur quelconque A : A = A r u r + A θ u θ + A φ u φ Ω u dudu dt = (cosθ φ u r - sinθ φ u θ + θ u φ ) u dudu dt =...

90 On calcul la dérivée de A en dérivant dabord ses composantes comme dhabitude puis on ajoute le terme Ω A qui tient compte du fait que la base est locale. A r u r + A θ u θ + A φ u φ + Ω A dAdA dt =... En particulier, pour Ω on a: Ω r u r + Ω θ u θ + Ω φ u φ + Ω Ω dΩdΩ dt =... 0

91 Remarque: où v est le module du vecteur v. Si on construit le unitaire vecteur: = V V Nous avons déjà vu que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. On peut définir un repère particulier en utilisant le vecteur vitesse v et le vecteur accélération L'accélération égale, par définition, à dt dvdv peut toujours être décomposée en deux vecteurs, l'un parallèle à v, et l'autre perpendiculaire à v. Dimanche 21/11/2004

92 d dt dvdv = = dt d ( v ) = dt dvdv + dt v Accélération tangentielle notée t ? Calculons: d = dt dvdv + dt v d = dt dvdv + v Mais: d dt 2 = d( dt = d = 0

93 On écrit: = t + n n = dt dvdv t Avec: Et: d dt v n n = Par définition: n = v 2 /R, où R est le rayon de courbure d dt R n = v Et donc: La base (, n, b ) est appelé la base de Serret Frénet On construit ainsi le vecteur unitaire: b = n On a: d b dt v n = T et: v d n dt = R v b T + où T est le rayon de torsion

94 n b n b La base de Serret Frénet

95 EXEMPLES DE MOUVEMENTS PARTICULIERS Devoir N°2: Exercice 10, fiche 2 1)Calculer la vitesse et laccélération en coordonnées cylindriques 2)Calculer les rayons de courbure et de torsion

96 4. Le mouvement relatif En mécanique, Il y a différentes raisons qui nous poussent à changer de référentiel. Un cas simple est celui de deux observateurs qui observent le même mobile. Pour comprendre et se mettre daccord sur ce quils observent, il doivent savoir traduire linformation dun référentiel à un autre. Observateur 2 Observateur 1 Observateur 1 fixeObservateur 2, en mouvement Mardi 23/11/2004

97 Des mouvements compliqués peuvent prendre une forme plus simple si le référentiel est bien choisit. Par exemple, le mouvement de mars vue par un observateur lié à la terre est compliqué alors quil est simple par rapport à un observateur lié au soleil. S T M Observateur lié au soleil

98 S T M Observateur lié à la terre

99 Comment voir ceci en équations? Soit deux référentiels R a et R r et un mobile M en mouvement. Pour simplifier, supposons que les deux référentiels ont la même base (i, j, k) et que O r soit en mouvement uniforme par rapport à O a. oaoa oror M RaRa RrRr Dans ce cas on parle de référentiel Galiléen (Chapitre IV) ou: a) Référentiel en translation uniforme

100 oaoa oror M RaRa RrRr On a choisit quà t=0, O a et O r coïncident. On prend O r O a = V t, avec V un vecteur constant. O a M = O a O r + O r M Si les deux observateurs comparent la position de M à chaque instant t, il trouveront:

101 Maintenant, si les deux observateurs comparent la vitesse de M à chaque instant t: Lobservateur a, dérive O a M dans son référentiel: Va=Va= dt dOaMdOaM RaRa Vr=Vr= dOrMdOrM RrRr Lobservateur r, fait de même pour O r M dans le référentiel r:

102 Va =Va = dt d ( O a O r + O r M ) RaRa Va =Va = dt dOaOrdOaOr RaRa dOrMdOrM + RaRa Puisque les deux référentiels ont la même base, on a dans ce cas: RaRa dt dO r M RrRr dt dO r M == V r RaRa dt dOaOrdOaOr = V e Et par définition, on note

103 V a = V e + V r Donc Vitesse dentraînement Vitesse absolueVitesse relative Vitesse absolue = Vitesse dentraînement + Vitesse relative Bien sur, la dénomination absolue et relative nest quun choix arbitraire

104 iaia jaja k a O RaRa b) Référentiel en rotation uniforme: M Mêmes Origines Bases différentes t RrRr

105 OM est le même dans les deux référentiels Va=Va= dt dOM RaRa Vr=Vr= dt dOM RrRr Observateur a Observateur r

106 On part de: En exprimant OM dans la base du référentiel r: Va=Va= dt dOM RaRa OM = x r i r + y r j r + z r k r dt dudu = θ k u. Et en utilisant le résultat démontré pour les coordonnées cylindriques sur la dérivé dun vecteur unitaire: On trouve: V a = V r + k OM

107 1) Démontrer, dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme par rapport à k d'une vitesse de rotation uniforme, ce qui suit: V a = V r + k OM 2) Trouver la relation entre les accélérations absolues et relatives. Devoir N°3

108 IV. Dynamique du Point Dimanche 05/12/ Les lois du mouvement 2.Première loi 3.Deuxième loi 4.Troisième loi 5.Centre de masse 6.Applications: le projectile, le pendule

109 1. Les lois du mouvement Aristote -384/-322 Naturel, violent, volontaire Galilée 1564/1642 Expériences, Observations Newton 1642/1727 Les trois lois

110 2. Première loi Définition d'un référentiel Galiléen: On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié Appelé aussi Principe d'inertie (Énoncé par Galilée): Un corps isolé persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme dans lequel il se trouve

111 3. Deuxième loi Ou bien "principe fondamentale de la dynamique" a) Notion de force Forces à distance Interaction gravitationnelle Interaction électromagnétique Forces de contact Frottements Forces fictives

112 Définition dune force: On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable de produire un mouvement ou encore de créer une déformation. b) Notion de quantité de mouvement Cette grandeur prend en compte la vitesse mais aussi linertie du corps (sa masse). Soit un point matériel de masse m, de vitesse v dans un référentiel galiléen. Sa quantité de mouvement est un vecteur défini par: p = m v

113 La dérivée temporelle de la quantité de mouvement dun point matériel est égale à la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées. m F = dp dt = m dv dt = Remarque: le principe d'inertie est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique. Énoncé du principe fondamentale de la dynamique:

114 4. Troisième loi Ou bien Principe de laction et de la réaction L action est toujours é gale et oppos é e à la r é action; c est-`a-dire, que les actions de deux corps l un sur l autre sont toujours é gales, et dans des directions contraires. 1 2 F 12 F 21 F 12 = - F 21

115 Les trois lois de Newton sappliquent à des points matériels seulement, mais les objets de la vie courante ne sont pas des points. Il est important de comprendre comment les lois de Newton peuvent être formulées pour sappliquer à des objets macroscopiques. 5. Centre de masse

116 Prenons un cas simple de deux corps indépendants: 1 2 F1F1 F2F2 F1F1 F2F2 F 1 = m 1 F 2 = m 2 Si on suppose qu'il ne forment qu'un seul corps, on a: F 1 + F 2 = M Il est évident que M = m 1 + m 2

117 Et donc: m m 2 2 = (m 1 + m 2 ) = dt dvdv Mais: Donc, on doit avoir en général: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v Aussi: v = dt dOM

118 Ainsi: m 1 OM 1 + m 2 OM 2 = (m 1 + m 2 ) OM c.m. En conclusion, les lois de Newton peuvent sappliquer à des objets macroscopiques à condition de les formuler pour le centre de masse. Et ceci est la définition du centre de masse (c.m.). "On peut facilement généraliser à plusieurs corps même s'ils sont en interactions en s'aidant de la troisième loi de Newton" En conclusion, les lois de Newton peuvent sappliquer à un objet constitué de deux points matériel à condition de les formuler pour le centre de masse.

119 6. Applications: le projectile, le pendule le projectile Surface de la Terre (gravitation uniforme) Horizontale Verticale p g Le principe fondamental de la dynamique: p = m = m g Donc: = g = vecteur constant m

120 Un peu de mathématiques: g x = 0 y = - g v x = v 0x = constante v y = - g t + v 0y x = v 0x t + x 0 y = - 1/2 g t 2 + v 0y t + y 0 x y o

121 Si à t=0, on suppose x = y = 0 et v x = v 0 cos, v y = v 0 sin, g x = 0 y = - g v x = v 0 cos v y = - g t + v 0 sin x = v 0 cos t y = - 1/2 g t 2 + v 0 sin t x y o v0v0

122 On peut facilement montrer que la trajectoire est une parabole. t = x / (v 0 cos ) y = - ½ g x 2 / (v 0 cos ) 2 + v 0 sin x / (v 0 cos ) y = - ½ g /(v 0 cos ) 2 x 2 + tg x De la forme: y = a x 2 + b x, qui est l'équation d'une Parabole:

123 y = [- ½ g /(v o cos ) 2 x + tg ] x y sannule pour deux valeurs de x ; x = 0 et x = 2 tg (v o cos ) 2 /g = 2 sin cos v o 2 /g = sin(2 v o 2 /g = OP La distance OP est la portée. O x y P D Q H Devoir N°4 1.Monter que la hauteur maximale du projectile (DH) est: DH = sin 2 v o 2 /2g 2.Puis montrer que: 2 DH= DQ

124 OP = sin(2 v o 2 /g, donc et ( /2 – ) donnent la même portée.

125 g O x y Le mouvement selon x est uniforme de vitesse v x = 60 m/s Le mouvement selon y est uniformément varié daccélération g. OP = = 720 m P

126 Combien de temps pour atteindre P ? t = OP/v x = 2 sin cos v o 2 /g /(v o cos ) t = 2 sin v o /g Que peut on dire la vitesse d'impact en P ? v x = v o cos v y = - g t + v o sin = - g (2 sin v o /g) + v o sin = – v o sin O x

127 Devoir N°5 1)Lire 3.1 à 3.6 pages 26 à 35 2)Lire 4.1 et 4.2 pages 39 à 42 3)Lire 5.1 et 5.2 pages 49 à 55

128 Le pendule simple p = m g T p + T = m m g cos – T = – m n – m g sin = m t Donc: – g sin = dv dt de masse m et de longueur l Avec: v = l d dt = l. Et donc: + g/l sin = 0..

129 + g/l sin = 0.. sin(1,00 rad) = sin( 57,3°) = 0,8415 sin(0,50 rad) = sin( 28,65°) = 0,4794 sin(0,25 rad) = sin( 14,32°) = 0,2473 sin pour < 10° + g/l = 0.. Une équation connue dont la solution est Périodique de pulsation : = max cos ( t ) avec 2 = g/l Où = 2 /T T = 2 l g La période Pour l = 1 m et sachant que g = 9,8 ms -2 T = 2,00 s Un pendule de 25 cm de long oscille avec une Période de 1,00 s.

130 V. Travail et Énergie Dimanche 02/01/ Travail et puissance d'une force 2.Le théorème de l'énergie cinétique 3.L'énergie potentiel 4.Conservation de l'énergie mécanique 5.Exemples

131 1. Travail et puissance d'une force W = F (AB) W = F (AB) cos A B FF FF A B Cas d'une force constante parallèle à un déplacement en ligne droite Cas d'une force constante non parallèle au déplacement Définition du Travail d'une force Unité de travail = Newton metre = Joule

132 W = F (AB) cos = F.AB (Produit Scalaire) Positif =0 Négatif =180° A A B A B W = + F (AB)W = - F (AB) Le travail peut être négatif ou positif

133 Et si F n'est pas constante ? Et si le déplacement est quelconque ? dW = F dr cos = F. dl F dldl Le travail total de A à B est: W = somme des dW de A à B Noté par: W = F dl A B A B A B

134 Définition de la puissance d'une force La puissance P est le travail d'une force par unité de temps. dW dt dldl F. = P = = F. v Unité de puissance = Joule/seconde = Watt

135 2. Théorème de l'énergie cinétique W = F dl A B A B = F.v dt A B En utilisant: A B W = m v.dv A B On a: F = m dt dvdv = m A B W = m v.dv = ½ m d(v 2 ) A B A B = W A B ½ m v B 2 - ½ m v A 2

136 = W A B ½ m v B 2 - ½ m v A 2 La quantité K= ½ m v 2 est par définition l'énergie cinétique La variation de l' énergie cinétique d' un point matériel lorsqu' il parcourt sa trajectoire d' un point A à un point B est égale au travail de la résultante des forces appliquées au point matériel de A à B le long de la trajectoire. = W A B K B - K A Remarque: l'énergie cinétique est souvent notée par E c

137 3. L'énergie potentielle On considère une particule située en M(x,y,z) et soumise à une force F. dW x = F x dx Le travail élémentaire dW x de cette force se déplaçant d'une distance élémentaire dx dans la direction x est: De même pour les directions dy et dz : dW y = F y dy dW z = F z dz Le travail total est: dW = dW x + dW y + dW z = F x dx + F y dy + F z dz = F.dl Rappel: F = F x i + F y j + F z k dl = dx i + dy j + dz k

138 dW= F dx On ne considère pour l'instant que la direction x: (une dimension) Dans le cas où l'on peut écrire: F = dU dxdx On dit que F dérive d'une énergie potentielle U. Par exemple, la force de rappel d'un ressort: F = - k x = dU dxdx U = ½ k x 2 On a, Et donc, l'énergie potentielle d'un ressort est: U = ½ k x 2 Un autre exemple, lors d'un déplacement verticale d'un objet de masse M, le poids est (axe des z orienté vers le haut): p = - M g = dU dzdz U = M g z On a,

139 Si: F =dU dxdx La variation de l'énergie potentielle est donc par définition: dU = - F dx = - dW C'est à dire que: La variation de l'énergie potentiel au cours d' un déplacement élémentaire dx est égale et de signe opposé au travail de la force. Remarque: l'énergie potentielle est souvent notée par E p

140 Si l'on considère maintenant le cas général à plusieurs dimensions, la force F dépend en général de x, y et z. Et l'énergie potentielle U doit aussi dépendre de x, y et z. Dans ce cas, F dérive d'une énergie potentielle U si: U x Fx =Fx = U y Fy =Fy = U z Fz =Fz = U x étant la dérivée de U par rapport à x, en supposant y et z constantes U y étant la dérivée de U par rapport à y, en supposant x et z constantes U z étant la dérivée de U par rapport à z, en supposant x et y constantes

141 U x Fx =Fx = U y Fy =Fy = U z Fz =Fz = Ces trois expressions sont rassemblées en une seule en utilisant la notation suivante: F = - grad UIl existe une autre notation, à savoir : F = - U Pour une fonction à plusieurs variables, on a : dU = U x dx + U y dy + U z dzdz = - F dl= - dW

142 A B La variation de l'énergie potentiel au cours d' un déplacement élémentaire dl est égale et de signe opposé au travail de la force. Que peut on dire dans le cas d'un déplacement sur un chemin quelconque? W = F dl A B A B = dU A B = – ( U B – U A ) Et donc, W = U A – U B A B

143 W = U A – U B A B Si une force F dérive d'une énergie potentielle U, le travail de cette force lors d'un déplacement AB quelconque ne dépend que du point de départ A et du point d'arrivée B. Remarque: W = U A – U A = 0 A Si une force F dérive d'une énergie potentielle U, le travail de cette force est nul sur un contour fermé. Une force qui dérive d'une énergie potentielle est appelée force conservative

144 Si le travail d'une force lors d'un déplacement quelconque ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée, on dit que cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle. Réciproquement: Remarque: En mécanique, la plupart des forces étudiées sont conservatives, cependant, certaines forces ne le sont pas comme par exemple les forces de frottement. Pour les forces non conservatives (dissipatives), on a: W 0 A

145 4. Conservation de l'énergie mécanique W = U A – U B A B = W K B - K A Nous avons montré précédemment qu'on a toujours: Et que dans le cas de forces conservatives, on a: Donc: U A – U B = K B - K A C'est à dire: K A + U A = K B + U B

146 E = K + U La somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle est constante pour une particule soumise à des forces conservatives Cette somme est appelée l'énergie mécanique. L'énergie mécanique d'une particule soumise à des forces conservatives est constante. Si parmi ces forces, il y a des forces dissipatives, l'énergie mécanique diminue.

147 5. Exemples m 0 A. Ressort horizontal m 0x U = 0 U = ½ k x 2 L'énergie cinétique K = ½ m v 2 L'énergie potentielle U = ½ k x 2 L'énergie mécanique E = ½ m v 2 + ½ k x 2

148 E = ½ m v 2 + ½ k x 2 État initial m 0A a E = ½ k a 2 L'énergie mécanique est conservée, donc:½ m v 2 + ½ k x 2 = ½ k a 2 v max = ? Equation du mouvement ?

149 B. Gravitation * Satellite de masse m autour de la terre (de masse M) E = ½ m v 2 - G m M/r * Objet proche de la surface de la terre M m r R Avec r R E = ½ m v 2 + m g z Surface de la Terre U=0 z o

150 * Objet proche de la surface de la terre+ E = ½ m v 2 + m g (z – h) Surface de la Table U=0 z 0 h * Objet proche de la surface de la terre++ E = ½ m v 2 - m g z Surface de la Table U=0 z 0 h

151 * Pendule E = ½ m v 2 m g (z – a ) z 0 a Position la plus basse U=0 a E = ½ m (a ) 2 m g a (1 – cos ). E = ½ m (a ) 2 m g a cos m g a. dE dt = 0 + g/l sin = 0..

152 C. Ressort et Gravitation E = ½ m v 2 m g z + ½ k ( l l eq l eq l 0 ) 2 + C te Position d'equilibre du ressort: U ressort =0 et U gravitation = 0 m z 0 E = ½ m v 2 m g z + ½ k ( l l 0 ) 2 + C te E = ½ m v 2 m g z + ½ k ( z l eq l 0 ) 2 ½ k (l eq l 0 ) 2 l : longueur du ressort l 0 : longueur à vide l eq : longueur à l'équilibre k (l eq l 0 ) = m g

153 Annexe: Les forces de frottements fF p N Un objet poussé résiste. f : force de poussée F: force de résistance (frottement) p: poids de l'objet N: réaction normale du support L'objet ne bouge que si l'on exerce une force f au delà d'un certain seuil Plus l'objet est lourd, plus f est grande (de même pour F). Dés que l'objet commence à se déplacer, la force f pour le maintenir en mouvement est généralement moindre.

154 Lois de coulomb: F s s N force de frottement statique ( v = 0 ) F d = d N force de frottement dynamique ( v 0 ) En général: d < s Dans l'exemple précédent, la force de frottement F (F s ) est égale et opposée à la poussée f tant que celle ci reste s N avec N = p = mg Les forces de frottements sont des forces dissipatives.


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