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Année universitaire 2012-2013 Mémoire de Projet de Fin dEtudes Sujet : « Simulation numérique des chocs élastiques » Pr é sent é par les é tudiants : -

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1 Année universitaire Mémoire de Projet de Fin dEtudes Sujet : « Simulation numérique des chocs élastiques » Pr é sent é par les é tudiants : - Mouslim Badr Encadrant : Pr ; H.LAHMAM

2 Introduction Partie I : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan horizontal Partie II : Simulation du choc élastique en deux dimensions entre deux disques glissant sans frottement sur un plan horizontal Partie III : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan vertical Partie IV : Simulation des chocs élastiques entre une particule sur les parois internes dun cadre rectangulaire Conclusion

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4 R APPEL SUR LES CHOCS ÉLASTIQUES : Un choc élastique est un choc entre deux corps qui produit un rebond entièrement régi par lélasticité des zones d'impact. Cela signifie que les corps reprennent leur forme initiale, sans déformation permanente comme dans un écrasement.chocélastique

5 L ES LOIS DE CHOC : Conservation de la quantité de mouvement : La conservation de lénergie cinétique :

6 Partie I : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan horizontal

7 Connaissant les vitesses et avant le choc, on peut déterminer les vitesses et après le choc en utilisant deux lois de conservation : Conservation de la quantité de mouvement : Conservation de lénergie cinétique globale : La conservation de lénergie cinétique totale peut sécrire vectoriellement :

8 On divisant (2) par (1), on trouve : Cette dernière équation montre que les vitesses relatives des deux particules (la vitesse dune particule par rapport à lautre) sont égaux en normes mais de signe opposé. On obtient le système suivant :

9 On obtient : Soit encore :

10 Détermination de linstant du choc: On a : Et On obtient: La condition du choc :

11 S IMULATION 1 er cas

12 2 éme cas

13 3 éme cas

14 P ARTIE II : C HOC ÉLASTIQUE NON FRONTAL ( OBLIQUE ) ENTRE DE DISQUE Choc entre deux disques réalisé dans les conditions de frottements nuls sur un support horizontal (coussin dair )

15 Le PFD appliqué sur chacun des disques sécrit : Donc on a : Où encore : Le but est de connaître les mouvements de G 1 et de G 2 après le choc ; cest à dire les expressions explicites des coordonnées (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) de G 1 et de G 2 respectivement en fonction du temps.

16 Il y a conservation des vitesses tangentielles; cest-à-dire Les deux disques échangent leurs quantités de mouvement normales par rapport au plan du choc(Le plan tangent au point dimpact).

17 Les disques sont en mouvement rectiligne uniforme avant le choc, lhoraire de leur vecteur position est donc donné par : Où encore : Condition du Choc : À linstant du choc on a: Avec : En développement la norme au carré, on obtient une équation de seconde degré en tc de la forme suivante:

18 Avec : -le coefficient A est toujours positif strictement -le coefficient C est toujours positif strictement Cette équation admet des solutions si et seulement si : Premier cas : Dans ce cas léquation admet deux solutions :

19 On a : Le produit des racines (C/A) est toujours strictement positif et leur somme toujours positive (-2B/A). Si : B > 0 Pas de choc La condition dexistence de choc est : B < 0 les disques se déplacent de la gauche vers la droite, le deuxième contact entre les disques nest pas possible puisque après le premier contact, les trajectoires des disques sont modifiées, ainsi seul le premier contact est possible cest la solution physique, celle correspondante a la valeur la plus petite de t c, avec le signe (-) devant la racine :

20 Deuxième cas : Dans ce cas on a une solution unique : Une fois t c trouvé on peut alors déterminer les abscisses et les ordonnées des deux centres dinertie G 1 et G 2 a linstant du choc par les relation suivantes : Vecteur directeur de la normale au plan du choc

21 Vecteur directeur de la tangent au plan du choc Les vitesses tangentielles avant le choc sont données par :

22 Les vitesses normales avant le choc sont données par : Principe de conservation de la quantité de mouvement : La projection sur le plan de choc donne : (1)Sécrit :

23 Principe de conservation de lénergie mécanique (conservation de lénergie cinétique) : En tenant compte de la Conservation des vitesses tangentielles léquation précédente se réduit à : Les équations trouvées ci-dessus, constituent un système de deux équations :

24 On obtient : Calcule de : Soit la base orthonormée du repère Fernel, et la base orthonormée du repère cartésien. Doù lexpression des vitesses en coordonnées cartésiennes : Donc on obtient :

25 Simulation 1 er cas

26 2 éme cas :

27 Comparaison : Si les rayons des deux disques sont très petits et les mêmes données ; vitesses initiales et positions initiales et linstant de choc on tombe dans le premier modèle (modèle simplifier) c'est-à- dire le choc élastique entre deux masses ponctuelles.

28 Partie III : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan vertical

29 -Les équations horaires de mouvement sont : -Détermination des vitesses après le choc : - Détermination de linstant du choc :(même manière )

30 S IMULATION 1 er cas :

31 2 éme cas

32 3 éme cas : On prend g=0

33 Partie IV : Simulation des chocs élastiques dune particule sur les parois internes dun cadre rectangulaire

34 La particule P(m) est mécaniquement isolée ; le point sannule avec la réaction du plan horizontal. Daprès le principe dinertie elle animée dun mouvement rectiligne uniforme : Soit encore :

35 On a : Si représente la durée du choc, on en déduit daprès le principe fondamental de la dynamique que la force exercée par la paroi sur la particule au cours du choc est : En application du principe de laction et de la réaction, la particule a donc exercé sur la paroi une force opposée égale à : Lors de ce choc élastique, la réaction de la paroi est dirigée suivant la normale a la paroi. Il en résulte que la quantité de mouvement acquise par la paroi ne peut quêtre orientée suivant la normale et que : Cest à dire quil y a conservation des composantes de la vitesse de la particule selon la direction tangente à la paroi.

36 La paroi étant fixe, elle nacquiert pas dénergie cinétique. Comme le choc est élastique la particule conserve son énergie cinétique : La norme du vecteur vitesse est conservé, en tenant compte de la conservation des vitesses tangentielles on déduit que :

37 Simulation

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