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Exemples dapplications de la 2 ème loi de newton.

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1 Exemples dapplications de la 2 ème loi de newton

2 I. Etude Théorique de la chute verticale avec frottement 1. Introduction. Déterminer, en utilisant la 2 ème loi de Newton et les outils mathématiques adaptés, les caractéristiques du mouvement dune bille chutant verticalement avec frottement dans du glycérol.

3 2.Cadre de létude. Référentiel détude: le référentiel terrestre considéré comme galiléen Système: la bille de masse m. On considère que la bille est « ponctuelle » et quelle se confond avec son centre dinertie G. Bilan des forces appliquées à la bille au cours de sa chute: – Le poids de la bille, – La poussée dArchimède exercée par le glycérol, – La force de frottement également par le glycérol.

4 3. La poussée dArchimède. Tout corps plongé dans un fluide (gaz ou liquide) est soumis à la poussée dArchimède dont les caractéristiques sont les suivantes : Point dapplication: le centre dinertie G du corps si celui-ci est totalement immergé. Direction: la verticale. Sens: de bas en haut. Intensité: Lintensité de la poussée dArchimède est égale « au poids du volume de fluide déplacé par le corps immergé ». Si V ol est le volume du corps immergé et ρ 0 la masse volumique du fluide, on a alors : F A = ρ 0 V ol g où g est laccélération de la pesanteur

5 Exemple : Un corps de volume V ol = 100 cm 3 plongé dans de leau (ρ 0 = 1, kg.cm -3 ) est soumis à une poussée dArchimède dintensité : F A = 1, x 100 x 9,8 = 0,98 N

6 4. La force de frottement. La force de frottement fluide exercée sur un solide en mouvement de translation à les caractéristiques générales suivantes : Direction: celle du mouvement. Sens: opposé au sens du mouvement La force de frottement est donc à tous instants colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse du mobile.

7 Intensité: Lintensité de la force de frottement est dautant plus importance que la norme de la vitesse du mobile est grande ( F frottement est une fonction croissante de v). il est généralement impossible de donner une expression analytique (mathématique) de la fonction F frottement (v). Dans la pratique on cherche à modéliser cette fonction de façon à tenir compte au mieux de la réalité du phénomène de frottement. On utilise très généralement des modèles du type : F frottement = k k et γ étant deux paramètres réels dont on « ajuste » les valeurs pour obtenir les résultats les plus proches de la réalité.

8 5. Retour sur létude du mouvement de la bille : application de la 2 ème loi de Newton. On choisie comme repère despace le repère (O,Oz), où O est le point doù est lâché la bille sans vitesse initiale et Oz un axe vertical dirigé vers le bas. On choisie comme origine des dates linstant où la bille est lâchée en O.

9 La 2 ème loi de Newton appliquée à la bille en mouvement de chute verticale sécrit :

10 6. Equation différentielle du mouvement de la bille. On projette lexpression vectorielle de la 2 ème loi de Newton suivant laxe Oz ; on obtient : m a z = P z + F Az + F frottement z Les trois forces sont colinéaires à laxe Oz et, en fonction de leur sens, on obtient : P z = P = mg F Az = - F A = - ρ 0 V ol g où ρ 0 est la masse volumique du glycérol et V ol le volume de la bille F frottement z = - F frottement

11 m a z = P z + F Az + F frottement z Par définition: On pose:

12 Par ailleurs F frottement est fonction de la norme v de la vitesse de la bille ; on peut écrire : F frottement = F frottement (v). La bille se déplaçant verticalement vers le bas, son vecteur vitesse est vertical et orienté vers le bas. v z =v F frottement = F frottement (v) = F frottement (v z )

13 Cette expression relie une fonction de v z avec la dérivée de v z, cest une équation différentielle ; cest léquation différentielle dévolution temporelle de la vitesse au cours du mouvement, ou encore léquation différentielle du mouvement. Pour résoudre mathématiquement cette équation différentielle, il faut donner une expression analytique à la fonction F frottement (v z ) ; il faut donc modéliser la force de frottement.


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