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Gradient dune fonction Gradient dune fonction. Généralités La notion de gradient est dun usage courant : on parle du gradient de température, gradient.

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1 Gradient dune fonction Gradient dune fonction

2 Généralités La notion de gradient est dun usage courant : on parle du gradient de température, gradient de concentration... En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs scalaires ou vectorielles. La variation par rapport à x dune fonction à plusieurs variables est obtenue en calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle La variation dune fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles

3 Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs le vecteur déplacement un vecteur de coordonnées Ce vecteur est –confondu avec lopérateur dérivée partielle –appelé gradient de la fonction f(x,y,z) –noté La variation de la fonction f(x,y,z) s écrit Produit scalaire de deux vecteurs Cet opérateur vectoriel nest quun outil mathématique destiné à rendre compte des réalités simples et concrètes.

4 f constante Soit un déplacement dM sur la surface f=constante M Direction Caractéristiques du vecteur gradient

5 Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f > f f constante f constante > f Sens

6 Caractéristiques du vecteur l normal à la surface iso-f f 2 > f 1 l dirigé dans le sens des f croissants l de coordonnées cartésiennes f 1 constante

7 Système de coordonnées cylindriques (r,, z) 0 r M z x y z cartésiennes (x, y, z) Coordonnées sphériques 0 M (r,, ) 0 M r Vecteur déplacement (dx, dy, dz) dx dy dz r.d dr dz d (dr, rd, dz) Vecteur déplacement r.sin.d r.d dr d d (dr, rSin.d, r.d ) Composantes de l opérateur gradient

8 Remarques Opérateur : Nabla Autre notation Opérateur gradient opérateur vectoriel agissant Fonction scalaireFonction vectorielle divergence rotationnel

9 Gradient d une fonction La variation dune fonction de plusieurs variables Le vecteur gradient est –confondu avec lopérateur dérivée partielle –perpendiculaire à la surface f constante –dirigé dans le sens des f croissants ou Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs gradient f déplacement –noté

10 Exercice En coordonnées cartésiennes calculer de la même façon 0 M z r x y (u n ) =n.u n-1.u

11 suite

12 Théorème du gradient La circulation d un tel vecteur est indépendante du chemin suivi ne dépend que du point de départ et d arrivée si la boucle est fermée, la circulation est nulle Si un vecteur est représentable comme le gradient dune fonction scalaire f Lintégrale dun vecteur le long dun chemin est appelée circulation du vecteur

13 Potentiel électrique Une charge électrique q avec V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge q Mr u créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique V est une fonction scalaire

14 RAPPEL Une charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique qMr u Le potentiel électrique créé en M par la charge q s écrit Opérateur gradient fonction scalaire

15 Application du théorème du gradient si la courbe est fermée La tension électrique U AB entre les points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique entre ces deux points

16 Commentaires L unité de potentiel électrique est le Volt Il est souvent plus aisé de déterminer le potentiel créé par une distribution de charges on calcule le gradient du potentiel le champ par E=-gradV On ne peut pas mesurer un potentiel V On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points Composante radiale de Le potentiel est défini à une constante près 0 0

17 Commentaires (suite) l Le potentiel créé par une distribution continue de charges l Le potentiel créé par une distribution discrète de charges distribution linéiquedistribution surfaciquedistribution volumique

18 Surfaces équipotentielles + Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants Ensembles des points pour lesquels V = constante Ligne de champ équipotentielle V1V1 V 2 < V 1 - V1V1 V 2 > V 1 normal à la surface V constant dirigé dans le sens des V croissants


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