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1 Imaginons maintenant que le courant électrique ne soit pas limité à un circuit filiforme mais quil soit étendu à une région de lespace comme un fluide.

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1 1 Imaginons maintenant que le courant électrique ne soit pas limité à un circuit filiforme mais quil soit étendu à une région de lespace comme un fluide dans un tuyau de section variable. Il est possible de définir en chaque point de cette distribution un vecteur densité de courant de la manière suivante. Le courant traversant une surface infinitésimale orientée est égal au produit scalaire Le courant traversant une surface finie S est la somme I B-VIII Généralisation aux distributions de courants B-VIII.1 Densité de courant Pour les circuits de très petites sections, dits filiformes, et qui correspondent assez bien à la représentation que lon se fait des fils électriques, le courant total I dans le circuit a suffit à construire différentes grandeurs comme champ et force. Pour aller plus loin il faut définir une densité locale de courant électrique de la manière suivante. S C

2 2 Soit un élément de volume « orienté » défini au point M dune distribution de courant par dS orthogonal à et parallèle à. Le courant qui traverse la section dS est donné par lélément de courant « filiforme » peut être défini par B-VIII.2 Champ magnétique créé par une distribution de courant dS M M Le calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot et Savart donne pour lélément de courant construit avec et Pour lensemble de la distribution

3 3 B-VIII.3 Le potentiel magnétique vecteur Le champ électrique sétant attaché un potentiel, il serait profondément injuste de ne pas doter le champ magnétique dun tel compagnon. Pour le champ électrique le potentiel est scalaire avec la relation locale Pour le champ magnétique, nous définirons un potentiel magnétique vecteur, représenté donc par un vecteur. Nous le construisons à partir du champ magnétique créé par un circuit filiforme. M I Circuit filiforme C M Utilisons la forme suivante La formule mathématique suivante entre une fonction de point et le champ de vecteur Nous conduit à un nouvelle expression

4 4 Dans le dernier terme le rotationnel se calcul en M là où nest pas défini, ce terme disparaît. Il reste alors La quantité est appelée le potentiel magnétique vecteur créé au point M par le circuit C parcouru par le courant I. Il est relié au champ magnétique par la relation locale Remarque: La relation entre et nest pas univoque. Une infinité de potentiels magnétiques vecteurs peuvent donner le même champ magnétique. Nous verrons cela plus tard, à chaque complément suffit sa peine. M I Circuit filiforme C M

5 5 Le potentiel magnétique vecteur créé par un courant constant, celui de la magnétostatique, bénéficie dune propriété locale remarquable. A partir de lexpression obtenue pour un courant filiforme calculons la divergence au point M en simplifiant les notations expression dans laquelle lintégrale qui porte sur M nest pas concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à écrire Utilisons la formule dans laquelle nous avons utilisé le fait que ne dépendait pas de M. Il vient puisque la fonction 1/r est continue et reprend sa valeur de départ après un tour complet (voir la circulation du vecteur champ électrique sur un parcours fermé). Nous obtenons limportant résultat pour le potentiel magnétique vecteur créé par un circuit filiforme

6 6 Pour le potentiel magnétique vecteur de la distribution M M Calculons expression dans laquelle lintégrale qui porte sur M nest pas concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à Utilisons la formule dans laquelle nous avons utilisé le fait que ne dépendait pas de M. Nous savons que les lignes de courant se referment sur elles-mêmes formant des boucles. Si on décompose lintégration sur la distribution en des intégrations successives sur des boucles de courant nous pouvons écrire Expression dans laquelle δi est le courant élémentaire de la boucle C.

7 7 M M Dans lexpression précédente la quantité est en tous points identique à celle construite pour un circuit filiforme et peut sécrire Il en résulte que le potentiel magnétique vecteur répond ici encore à la relation locale

8 8 B-VIII.4 Généralisation du Théorème dAmpère à une distribution de courants Lapplication du théorème dAmpère à la courbe C sur laquelle la surface S sappuie donne de même Le courant traversant S est bien encerclé par C. S C B-VIII.5 Forme locale du théorème dAmpère Dans la forme globale du théorème dAmpère La surface S et la courbes C, bien que reliées lune à lautre, sont quelconques. On peut transformer lintégrale de circulation à laide de la formule de Stokes Linvariance de cette relation sur le choix de C et S associées donne la relation locale en tout point M Rappelons les autres équations locales que nous connaissons déjà : M

9 9 Construisons maintenant une autre relation locale pour le potentiel magnétique vecteur, relation équivalente à léquation de Poisson pour lélectrostatique. A partir de la forme locale du théorème dAmpère et de la relation de définition du potentiel magnétique vecteur il vient en simplifiant les écritures Faisons appel à la formule danalyse vectorielle dans laquelle nous avons introduit le laplacien dun vecteur, vecteur obtenu en prenant le laplacien de chaque composante. Le laplacien dune fonction scalaire f(x,y,z) est donné en coordonnées euclidiennes par Comme nous obtenons

10 10 B-VIII.6 Énergie en magnétostatique Dans le cours délectrostatique nous avons vu que lénergie électrostatique était distribuée dans tout lespace où le champ électrique était non nul sous la forme dune densité volumique dénergie (Jm -3 ) Faisons ici de même en supposant que lénergie magnétostatique est distribuée dans tout lespace où le champ magnétique est non nul sous la forme dune densité volumique dénergie (Jm -3 ) Nous justifierons ce résultat plus tard. Lénergie magnétostatique totale dune distribution de courants qui crée le champ est donnée par Lintégration est prise sur tout le volume T de lespace où le champ est non nul. Ce volume correspond souvent à tout lespace géométrique. Transformons cette expression sous la forme et utilisons la formule danalyse vectorielle il est alors possible décrire

11 11 Transformons la deuxième intégrale grâce au théorème dOstrogradski, Σ étant une surface qui entoure toute la région où le champ est non nul. Il est clair que cette transformation mathématique est physiquement non valable si des courants vont à linfini (cas idéalisé du fil rectiligne indéfini). Cette éventualité de courant à linfini na pas de raison dêtre dans les montages expérimentaux réalistes de la technologie. Donc une surface Σ entourant les sources à suffisamment grande distance sera toujours trouvée. Que devient cette intégrale lorsque la surface Σ séloigne à linfini? Le champ se comporte en module comme 1/r 2, le potentiel vecteur se comporte en module comme 1/r et la surface, assimilée à une sphère se comporte comme r 2. Soit au total lintégrale qui se comporte comme 1/r et qui tend vers zéro à grande distance faisant disparaître ce terme. Dans le premier terme de lénergie utilisons la forme locale du théorème dAmpère qui est nul là où la densité de courant est nulle ce qui réduit lintégrale de lénergie magnétostatique au volume τ de la distribution de courant Dans la mesure où le potentiel magnétique vecteur nest pas défini de manière univoque, il convient de se méfier de lapplication de cette formule.

12 12 B-VIII.7 Exemple dillustration des relations théoriques Les possibilités de calculs analytiques sont très limitées. Voici un exemple type de calcul qui utilise la symétrie cylindrique. Cest le cas dun fil très long de rayon non nul a, parcouru par un courant I uniformément réparti dans la section. Nous avons calculé le champ magnétique Pour calculer le potentiel magnétique vecteur utilisons en coordonnées sphériques dans la base Rayon a Courant total I uniformément réparti M r Par raison de symétrie le potentiel magnétique ne doit pas dépendre de z et de θ, mais uniquement de léloignement r du fil. Nous cherchons donc, nous avons le choix, un vecteur de la forme. Lexpression du rotationnel donne les deux équations Après intégration

13 13 Le potentiel étant continu, ses dérivées étant reliées au champ magnétique, grandeur physique définie, il faut que les deux expression du potentiel coïncident en r = a, soit A(a)=0 Dans le fil lexpression du potentiel ne pose pas problème, le potentiel étant défini. Il nen va pas de même à lextérieur du fil, bien que lexpression mathématique soit sympathique. En effet le potentiel diverge à linfini, comportement paradoxal pour décrire un champ magnétique qui lui tend vers zéro. Cette divergence du potentiel provient de lexistence des courants à linfini, comme le fil y est supposé aller. Compte tenu quil est presque toujours problématique de calculer le potentiel magnétique vecteur dune distribution de courant, la portée de cette grandeur physique peut en apparaître de portée limitée. Il nen est rien. Le potentiel magnétique vecteur joue un rôle essentiel en électromagnétisme comme moyen dintégration des équations des champs à partir de léquation du genre de celle de Poisson Il en est de même pour le potentiel électrique scalaire V qui répond à léquation de Poisson

14 14 Câble coaxial Nous allons utiliser lexemple précédent pour traiter le cas du câble coaxial bien connu du public. Nous lui allouons ici une utilisation bien particulière en magnétostatique, alors quusuellement ce type de composant est plutôt du domaine des faibles signaux, souvent haute fréquence. La structure du câble est aisément compréhensible: Une âme métallique centrale de rayon a, transportant un courant total I uniformément réparti dans la section Une armature extérieure métallique de rayon compris entre b et c, transportant un courant I uniformément réparti dans le sens opposé à celui de lâme Un isolant entre les deux, de rayon compris entre a et b Lapplication du théorème dAmpère permet de calculer le champ magnétique dans les quatre domaines 0 < r < a : (voir lexemple précédent) a < r < b : (voir lexemple précédent) b < r < c :, même principe que précédemment mais attention au courant encerclé r > c : le courant encerclé étant nul. a b c h I I

15 15 Calculons le potentiel magnétique vecteur dans les quatre domaines en commençant par lextérieur r > c : puisque y est nul, il semble logique de prendre, puisque nous avons le choix b < r < c : nous devons intégrer ce qui donne a < r < b : résultat directement déductible de lexemple précédent La constante se calcule en faisant soit 0 < r < a : résultat directement déductible de lexemple précédent La constante se calcule en faisant soit 0a r B b c

16 16 Tracé du potentiel magnétique vecteur du câble coaxial âme isolant armature a b c A

17 17 Calcul de lénergie magnétostatique Nous avons à notre disposition deux approches Intégrer sur le domaine où le champ magnétique nest pas nul avec la formule Intégrer sur le domaine où la densité de courant nest pas nulle avec la formule Dans les deux cas il faut définir des éléments de volume à symétrie cylindrique (voir figure) : r dr h Commençons par lintégrale de la densité dénergie 0 < r < a : a < r < b : b < r < c :

18 18 Lénergie totale sécrit Remarque importante pour la suite, lénergie est proportionnelle à I 2. Lénergie ci-dessus peut se mettre sous la forme Un calcul sur la région où la densité de courant est non nulle donne Résultat différent : le calcul avec le champ est probablement juste. La différence entre les deux résultats est certainement liée au caractère infini du câble, idéalisation dont on sait les problèmes quelle peut poser.

19 19 B-VIII.8 Pression magnétique Soit une distribution plane de courants dans la direction –x avec une densité j par unité de longueur. Appliquons le théorème dAmpère à un circuit rectangulaire de longueur d de part et dautre de la distribution. La symétrie nous permet décrire soit vectoriellement Si nous ajoutons dun seul coté de la distribution un champ extérieur qui annule le champ Sur la partie rectangulaire de côtes da, db le champ extérieur exerce une force Ramenée par unité de surface cette force donne la pression L da db d Cette situation se rencontre dans les solénoïdes longs où les spires sont assimilables à une nappe continue. Ils sont alors soumis à un ensemble de forces de pression dirigées vers lextérieur. j est en A/m

20 20 B-VIII.9 Coefficient dinductance propre Le circuit C ne peut pas être filiforme dans la réalité, le champ magnétique ne pouvant pas être infini. Il a donc une section finie, seule possibilité dexistence du champ magnétique réel en tout point. Lintégrale étant prise sur le volume du fil. La densité de courant permet de calculer le courant total du fil. Multiplier par un facteur k induit une multiplication de I par k. Donc la relation entre et I est linéaire, de même quentre et. C I Il y a donc proportionnalité entre lénergie magnétique W m et I 2 puisque la densité volumique dénergie dépend de B 2. On définit le coefficient dinductance propre de la manière suivante soit Par extension il est possible de définir une quantité homogène à un flux propre bien que le calcul direct du flux du champ propre ne soit pas défini.


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