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1 2010-11, GEII semestre 3Mathématiques Intégrales 1 - Intégrale simple 2 - Deux directions de généralisation 3 - Techniques de calcul 4 - Intégrale multiple.

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1 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrales 1 - Intégrale simple 2 - Deux directions de généralisation 3 - Techniques de calcul 4 - Intégrale multiple Bruno Rossetto, bureau A 37, tél et site :

2 , GEII semestre 3Mathématiques Somme discrète Distance parcourue lorsque la vitesse varie par paliers t0t0 tntn titi t i+1 v(t) v(t i ) h t d i = v(t i ). h Distance parcourue durant lintervalle de temps d i est laire du rectangle hachuré. D n est la somme des aires des rectangles

3 , GEII semestre 3Mathématiques Somme continue Distance parcourue lorsque la vitesse varie de manière continue a = t 0 b = t n t t+h v(t) v(t i ) h t

4 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrale simple (1) Intégrale de Riemann : lidée a = t 0 b = t n titi t i+1 v(t) v(t i ) h t Aire = h. f(t i ) Lintégrale est laire algébrique comprise entre la courbe, laxe des t et les bornes (R n est appelé somme de Riemann)

5 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrale simple (2) Intégrale de Riemann : dautres idées a = t 0 b = t n titi t i+1 f(t) f(t i+1 ) h t Aire = h. f(t i+1 ) La somme de Riemann tend vers la même limite, mais par valeurs supérieures, cette fois-ci. (R n : somme de Riemann)

6 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrale simple (3) Intégrale de Riemann : formulation mathématique Quelles sont les conditions pour que lintégrale de Riemann existe ? 1 – Pouvons-nous toujours pratiquer le découpage ? Il faut que la fonction f(x) soit définie pour tout x appartenant à lintervalle [a, b]. 2 – Dans quelles conditions la limite de la somme de Riemann existe-t-elle ? Il faut que la fonction f(x) soit continue dans lintervalle [a, b]. Doù la définition: Soit f(x) une fonction définie et continue dans tout lintervalle [a, b]. On subdivise cet intervalle en n intervalles égaux de largeur h. Soit x = a + kh. On appelle intégrale de Riemann la limite de la somme lorsque n tend vers linfini. Lintégrale est laire algébrique comprise entre la courbe, laxe des x et les bornes.

7 , GEII semestre 3Mathématiques Théorème de la moyenne a b m M f(x) x f(c) cc Théorème de la moyenne : soit f une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a, b]. Il existe au moins un point c appartenant à ce segment tel que Soit m le minimum et M le maximum de la fonction f(x) :

8 , GEII semestre 3Mathématiques Propriétés des intégrales Linéarité Si A et B sont des constantes, Relation de Chasles Si a < b < c : Permutation des bornes :

9 , GEII semestre 3Mathématiques Calcul pratique dune intégrale Valeur F(x) dune intégrale comme fonction de sa borne supérieure x : (1) Par définition de la dérivée de F(x) : Daprès le théorème de la moyenne, avec a = x et b = x+h, il existe c compris entre x et x+h tel que : Soit : Lorsque h tend vers 0, c tend vers x en sorte que. En appliquant (1), on trouve que :, F(x) étant une primitive de f(x).

10 , GEII semestre 3Mathématiques Simplifications Exploiter les symétries pour simplifier 1 – Symétrie paire : f(-x) = f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à laxe vertical) Lintégrale sur un intervalle symétrique par rapport à lorigine est égale à deux fois lintégrale sur le demi intervalle positif. 2 – Symétrie impaire : f(-x) = - f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à lorigine) Lintégrale sur un intervalle symétrique par rapport à lorigine est nulle. x 0 f(x) + + a -a x 0 f(x) + _ a -a....

11 , GEII semestre 3Mathématiques Exemples Calcul dune valeur moyenne Exemple 2 : calculer la valeur moyenne dun signal redressé double alternance, qui est aussi le coefficient a 0 de son DSF. VmVm 0Tt V(t) Exemple 1 : on montre aisément que la moyenne dun signal sinusoïdal calculée sur un nombre entier de fois sa période est nulle. En effet, laire algébrique située au dessus de laxe horizontal, comptée positivement, est égale à laire située au dessous, comptée négativement. VmVm 0 T t V(t) + _ Sachant que le signal est pair, ce coefficient est donné par : + +

12 12 Mathématiques Techniques de calcul (1) Changement de variable Ne pas oublier de changer les bornes Intégration par parties Formes trigonométriques On linéarise. Fractions rationnelles On décompose en éléments simples - de première espèce - de deuxième espèce , GEII semestre 3

13 , GEII semestre 3Mathématiques Techniques de calcul (2) Changement de variable Exemple : Aire dun cercle de rayon r, déquation -r x 0 r r On pose (on noublie pas de changer les bornes)

14 , GEII semestre 3Mathématiques Techniques de calcul (3) Intégration par parties Exemple : formule de Stirling. Le calcul approché de log(n!) pour n >> 1 conduit à une intégrale que lon intègre par parties : On pose et Daprès

15 , GEII semestre 3Mathématiques Techniques de calcul (4) Formes trigonométriques : on linéarise Exemple : calcul du coefficient a n du DSF dun signal redressé double alternance, avec n entier. Dans le cas général, ce coefficient est donné par : VmVm 0Tt V(t) On linéarise : On distingue le cas où n est pair et impair. Si p est un entier : On tient compte du fait que le signal est pair :

16 , GEII semestre 3Mathématiques Techniques de calcul (5) Fractions rationnelles (1) : on décompose en éléments simples Exemple : décomposition en éléments simples de 1ère espèce : Pour calculer B, on multiplie léquation par (x-a) et on fait tendre x vers linfini. On trouve : B = - C. Les éléments simples peuvent être intégrés directement. Pour calculer A (resp. C), on multiplie léquation par (x-a) 2 (resp. x - b) et on fait x = a (resp. x = b). On trouve :

17 , GEII semestre 3Mathématiques Techniques de calcul (6) Fractions rationnelles (2) : on décompose en éléments simples Exemple : le dénominateur est un trinôme du second degré qui na pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce :

18 , GEII semestre 3Mathématiques Application : calcul daires 1 - Aire du triangle de base b et de hauteur h : b f(x) = px pb = h x 0 h r x -r r 2 - Aire du cercle de rayon r : équation du cercle: 0 On pose Equation de la droite OM définissant le triangle: y = f(x)=px M

19 , GEII semestre 3Mathématiques Deux directions de généralisation Critères de Riemann : La fonction devient infinie 1 f(x) x Lintervalle dintégration sétend jusquà linfini 1 f(x) x Critère de de Riemann : 0

20 , GEII semestre 3Mathématiques Différentielles et intégrales (1) Résumé en utilisant la notation différentielle La contribution à la distance totale de lélément dx, situé le long de la courbe v(t), parcouru à la vitesse v(t) durant lintervalle de temps dt, est : La distance totale parcourue est la somme des contributions : a = t 0 b = t n t v(t) v(t i ) dt t dx où F(x) désigne une primitive de v(t)

21 , GEII semestre 3Mathématiques Différentielles et intégrales (2) Applications 2r 0 r d r r 1 - Aire du cercle de rayon r. La contribution à laire du secteur de longueur r et dangle d est laire du triangle de base r et hauteur rd : Aire totale : 2 - Champ magnétique créé à la distance d par une spire de rayon r. Daprès la loi de Biot et Savart, la contribution de lélément dl est : En intégrant de 0 à 2, on trouve : r dBsin d M P d

22 , GEII semestre 3Mathématiques Différentielles et intégrales (3) Applications 3 - Champ magnétique dun solénoïde comprenant n spires par unité de longueur. Sur un élément de longueur dz, il y a ndz spires. On note que ndz est un nombre sans dimension. Daprès ce que nous venons de trouver, la contribution de lélément de longueur dz est : z M r dz z est relié à langle par léquation soit soit, pour un solénoïde infini, 0 z

23 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrale multiple (1) Définition x y x y D On divise le domaine D en n rectangles daire x y. Si la suite admet une limite finie lorsque n tend vers linfini, alors f(x,y) est intégrable dans R. On note : Cette intégrale représente laire du domaine D. Les intégrales multiples sont linéaires.

24 , GEII semestre 3Mathématiques Intégrale multiple (2) 1 – Aire du triangle de base b et de hauteur h Contribution à laire de lélément de surface dy.dx : dA = dy.dx Aire totale : b f(x) = px pb = h x0 h Applications 2 – Aire dune ellipse déquation 0 a b Contribution à laire de lélément de surface dy.dx : dA = dy.dx

25 , GEII semestre 3Mathématiques Aire dune sphère r r sin x y z r d r sin d r Contribution à laire de lanneau circulaire de longueur r sin et de largeur r d dA = r 2 sin d Aire totale : On exploite les symétries Intégrale double Contribution à laire de lélément de longueur r sin d et de largeur r d r sin dA = r 2 sin d d

26 , GEII semestre 3Mathématiques r d r sin d Volume dune sphère r r sin x y z r Intégrale triple Contribution au volume de lélément de longueur : r sin d de largeur : r d de hauteur dr r sin


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