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Cours de physique générale I Ph 11 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 2 1.

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1 Cours de physique générale I Ph 11 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 1

2 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 Chapitre deux : Calcul de variation, calcul dincertitude 1. Introduction et rappels 2. Calcul dincertitude 3. Calcul de petites variations 2

3 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I Introduction et rappels La dérivée dune fonction mesure le taux de variation dune fonction, elle est définie par : différentielle de x Dérivée : différentielle de f Il sagit de lécriture différentielle de la dérivée

4 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 4 La dérivée f(x) est égale à : cest la tangente trigonométrique de langle que fait la tangente à la courbe avec laxe des abscisses x. = tan ( α )

5 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 5 Δx = x B -x A Δy = y B -y A A B xBxB xAxA x y yAyA yByB α x0x0 y0y0

6 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 6 On peut aussi écrire la variation infinitésimale de f, df suite à une variation infinitésimale de la variable x, dx : df est appelé la différentielle de f. Cette formule est importante car elle permet de déterminer la variation infinitésimale de f.

7 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 7 Dérivées : Différentielle dy

8 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 8 Différentielle dy

9 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 9 Différentielle dy

10 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 10 Différentielle dy

11 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 11 Différentielle dy

12 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 12 Différentielle dy

13 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 13 Différentielle dy

14 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 14 Différentielle dy

15 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 15 Différentielle dy

16 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 16 Pour les fonctions de fonctions, on utilise la formule suivante :

17 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 17 Fonctions de fonctions

18 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 18 Fonctions de fonctions

19 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 19 Fonctions de fonctions

20 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 20 Fonctions de fonctions

21 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 21 Fonctions de fonctions

22 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 22 Fonctions de fonctions

23 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 23 Fonctions de fonctions

24 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 24 La primitive de y = f(x) est la fonction F(x) défini par :

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29 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I Calcul dincertitude On considère une grandeur physique G. Soit G m sa mesure, soit G e sa valeur exacte, la différence entre la valeur mesurée G m et la valeur exacte G e est appelée erreur absolue. Cette erreur absolue varie suivant les mesures.

30 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 30 Lincertitude absolue δG est la limite supérieure de lerreur absolue. Lerreur absolue et lincertitude absolue ont une dimension et donc une unité en général.

31 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 31 On appelle erreur relative le quotient de lerreur absolue par la valeur exacte. Lincertitude relative est le quotient de lincertitude absolue δG par la valeur mesurée G m. Lerreur relative et lincertitude relative sexpriment en général en pourcentage et nont pas de dimension.

32 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 32 La conduite dun calcul derreur se fait de la façon suivante. A. Déterminer lexpression algébrique des erreurs ou des incertitudes dune grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques. a) d(ln(x)) = dx/x ceci est la différentielle logarithmique de x : on prend le logarithme népérien et on différencie. a) d(ln(u)) = du/u

33 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 33 B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc.

34 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 34 C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs.

35 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 35 D. Effectuer le calcul numérique et donner lexpression du résultat.

36 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 36 Dérivée logarithmique de fDifférentielle logarithmique de f Exemple 0 : Calculer la dérivée logarithmique ainsi que la différentielle logarithmique des fonctions suivantes. f(x) = 5x ; f(x) = 7x 2 ; f(x) = 3e 5x ; f(x) = cos(x)

37 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 37 Exemple 1 : Calculer lincertitude relative sur la tension U aux bornes dun conducteur ohmique sachant que lincertitude relative de la résistance et de la mesure de lintensité sont connues.

38 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 38 Déterminer lexpression algébrique des erreurs ou des incertitudes dune grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques. On utilise la loi dOhm : U = RI On prend le logarithme népérien de lexpression : On prend la différentielle de lexpression obtenue : On différencie lexpression précédente :,

39 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 39 B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc.

40 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 40 C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs. On remplace par δ : δ U, δ R et δ I sont toujours positifs. On prend les valeurs absolues des coefficients de δ U, δ R et δ I car cela correspond à la valeur maximale que lon peut avoir sur lincertitude.

41 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 41 D. Effectuer le calcul numérique et donner lexpression du résultat.

42 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 42 Exemple 2 : Déterminer lincertitude relative du volume δV dune sphère, suite à une incertitude sur son rayon δr.

43 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I Calcul de petites variations Le calcul de petites variations se fait en utilisant les différentielles ou différentielles logarithmiques. Les petites variations peuvent être positives ou négatives. Les exemples simples suivants montrent lutilisation des différentielles pour calculer des petites variations. Les variations relatives sexpriment en général en pourcentage et nont pas de dimension.

44 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 44 Exemple 1 : Déterminer la variation relative de la période δT/T dun pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l, lintensité de la pesanteur g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que lon a des petites oscillations.

45 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 45 On sait que la période dun pendule simple est donnée par : On prend le logarithme népérien de lexpression : On prend la différentielle de lexpression obtenue : Application numérique : δl/l = 1/100

46 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 2 46 Exemple 2 : Déterminer la variation relative de la période δT/T dun pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l et suite aussi à une petite variation de lintensité de la pesanteur δg/g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que lon a des petites oscillations.

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