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Le plan des cours danalyse Etude des phénomènes variables CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer.

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1 Le plan des cours danalyse Etude des phénomènes variables CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle MathSV : chapitre 5

2 Primitives-Intégration Introduction et exemple en pharmaco-cinétique Définitions et propositions Méthodes de calcul

3 Introduction Définition : F(x) est une primitive de f(x) si F(x)=f(x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Dériver Intégrer f(x) Notation : Lensemble des primitives de f est noté

4 Exemple en dynamique de population Létude de lévolution au court du temps dune population dorganismes N(t) Vitesse ou accroissement Accélération ou vitesse de laccroissement Dériver Intégrer Dériver Intégrer

5 Un exemple en pharmaco-cinétique Modéliser la vitesse darrivée et délimination dans le sang dun médicament, en fonction du temps. Question : temps (t max ) pour atteindre la concentration maximale (C max ) ?

6 Concentration du médicament dans le sang (mg/l) en fonction du temps : f(t) t max : le point où la dérivée sannule (sil existe)

7 Injection par voie intraveineuse : modèle exponentiel MathSV : chapitre 5 (section 7.2)

8 Questions : ASC = Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) Q1: ASC dans les 10 heures qui suivent linjection par voie intraveineuse ? Q2 : quantité moyenne de médicament dans le sang pendant les 10 premières heures ?

9 Aire sous la courbe ASC : Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) sur 10 heures Cest lintégrale de la fonction f (la concentration), sur lintervalle de temps [0; 10] Ou laire sous la courbe…

10 Q1 : ASC sur les 10 premières heures

11 Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

12 Définitions et propositions

13 Définition et notation «La somme de a à b de est égale à la différence entre les primitives de f au point b et au point a. »

14 Intégrale : aire sous la courbe Lobjectif est de calculer laire de surfaces définies par des courbes On se contentera ici des surfaces comprises entre laxes des x et la courbe représentative dune fonction continue.

15 Lidée est très simple: on approche la surface hachurée par la réunion de rectangles, comme on sait calculer laire dun rectangle on obtient une approximation de laire cherchée. Intégrale : aire sous la courbe

16 Plus la base des rectangle est étroite meilleure est lapproximation Intégrale : aire sous la courbe

17 Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh Intégrale : aire sous la courbe a b f(b) a b

18 Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh Soit A(x) laire de la surface entre a et x : A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). a b a f(b) f(b)f(b) h Intégrale : aire sous la courbe

19 Soit A(x) laire de la surface entre a et x: A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). Miracle mathématique: A(b) = f(b) Lorsque h tend vers 0 on a : A(b) - A(b-h) h f(b)f(b) Intégrale : aire sous la courbe a b f(b) a b

20 Propriétés Laire sous la courbe est nulle Le signe de lintégrale

21 Signe de lintégrale x f(x) ab Intégrale de f = D1-D2

22 Propriétés Relation de CHASLES (additivité):

23 LASC est additive aire verte + aire jaune

24 Valeur moyenne x f(x) ab

25 Aire dun domaine

26 Méthodes de calcul

27 Formulaire des dérivées Formulaire des primitives MathSV : cours / formulaires

28 Dérivées et primitives célèbres

29 Dérivées et primitives à reconnaître

30 Lexemple en pharmaco-cinétique

31 Q1 : ASC sur les 10 premières heures

32 Lexemple en pharmaco-cinétique sont les primitives de f

33 Lexemple en pharmaco-cinétique Q1 : quelle est lASC sur [0 ; 10] ?

34 Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

35 Lexemple en pharmaco-cinétique Q2 : Quelle est la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 premières heures ?

36 Méthodes de calcul 1. Intégration par linéarisation 2. Intégration par changement de variable 3. Intégration par partie Cf. synthèse, chapitre 5, section 4

37 Changement de variable Intégration par parties Intégration dune somme

38 Méthodes de calcul Intégration par linéarisation Intégration par changement de variable Intégration par partie Intégration des fractions rationnelles

39 Se ramener à ou

40 Intégration des fractions rationnelles : La croissance pondérale dun organisme MathSV : chapitre 6, section Décomposition en éléments simples...


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