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DERIVATION Taux daccroissement dune fonction Taux daccroissement dune fonction Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Approche.

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1 DERIVATION Taux daccroissement dune fonction Taux daccroissement dune fonction Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Approche graphique :coefficient directeur de la tangente. Approche graphique :coefficient directeur de la tangente. Approche numérique :Approximation dune augmentation en pourcentage par exemple. Approche numérique :Approximation dune augmentation en pourcentage par exemple.

2 Taux daccroissement Dans le cas dune fonction « discrète » : mesure dune population, mesure dun chiffre daffaires,mesure dune production…la valeur : mesure une variation moyenne

3 Evolution dune production Année: x Product ion:P

4 Evolution donne lévolution moyenne par année sur une période de 10 ans de la production. donne lévolution moyenne par année sur une période de 10 ans de la production. TAUX DACCROISSEMENT DE LA FONCTION P TAUX DACCROISSEMENT DE LA FONCTION P MAIS NON PAS UN TAUX AU SENS ECONOMIQUE Le rapport : Le rapport :

5 Taux daccroissement Dans le cas dune fonction continue ce nombre mesure le coefficient directeur de la droite (AB) quand A et B sont deux points de la courbe représentative de f : Dans le cas dune fonction continue ce nombre mesure le coefficient directeur de la droite (AB) quand A et B sont deux points de la courbe représentative de f : A (a,f (a)) et B(b,f (b)) A (a,f (a)) et B(b,f (b))

6 Vitesse Moyenne Le vitesse moyenne se mesure par le taux daccroissement de la fonction qui donne la position dun mobile en fonction du temps. Le vitesse moyenne se mesure par le taux daccroissement de la fonction qui donne la position dun mobile en fonction du temps.

7 De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Un mobile se déplace de façon rectiligne en fonction du temps Un mobile se déplace de façon rectiligne en fonction du temps Sa position est donnée par f tel que f(t)=2t²+1 exprimé en mètres, pour t exprimé en secondes compris entre 0 et 100. Sa position est donnée par f tel que f(t)=2t²+1 exprimé en mètres, pour t exprimé en secondes compris entre 0 et 100.

8 Vitesse instantanée Passage « à la limite » de la vitesse moyenne en calculant Passage « à la limite » de la vitesse moyenne en calculant et en faisant tendre h vers 0 et en faisant tendre h vers 0 Dans cet exemple on montre que la limite est égale à 4t pour toute valeur de t Dans cet exemple on montre que la limite est égale à 4t pour toute valeur de t

9 De la sécante à la tangente Le coefficient directeur de la sécante tend vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point dabscisse a quand le point B « sapproche » de A sur la courbe. Le coefficient directeur de la sécante tend vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point dabscisse a quand le point B « sapproche » de A sur la courbe.

10 Approximation Une somme S augmente successivement de t %. Cette somme est donc multipliée par (1+x )² en posant t/100=x. Une somme S augmente successivement de t %. Cette somme est donc multipliée par (1+x )² en posant t/100=x. On montre numériquement et graphiquement que multiplier S par (1+x)² revient à multiplier S par 1+2x quand x est suffisamment « petit » On montre numériquement et graphiquement que multiplier S par (1+x)² revient à multiplier S par 1+2x quand x est suffisamment « petit »

11 Nombre dérivé dune fonction f en a Définition par la limite quand h tend vers 0 de: Définition par la limite quand h tend vers 0 de: Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point dabscisse a. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point dabscisse a. ( approximation affine)

12 fonctions dérivées Fonctions dérivées des fonctions de référence : Fonctions dérivées des fonctions de référence : Fonctions dérivées dune somme, dun produit, dun quotient Fonctions dérivées dune somme, dun produit, dun quotient Application: Calcul de dérivées de fonctions polynômes de degré au plus 3 et de fonctions rationnelles Application: Calcul de dérivées de fonctions polynômes de degré au plus 3 et de fonctions rationnelles

13 Applications Lien entre signe de dérivée et variations Lien entre signe de dérivée et variations de fonctions sur un intervalle : Recherche dextremum Recherche dextremum Utilisation de la monotonie pour résoudre des équations du type f(x)=k Utilisation de la monotonie pour résoudre des équations du type f(x)=k Recherche de valeurs approchée avec méthode par dichotomie ou par balayage à pas fixé (autre approche du problème de résolution déquation session 2002 Amérique du sud) Recherche de valeurs approchée avec méthode par dichotomie ou par balayage à pas fixé (autre approche du problème de résolution déquation session 2002 Amérique du sud)

14 Applications Résolution de problèmes : Résolution de problèmes : situations simples situations simples Problèmes cinématiques Problèmes cinématiques Géométriques Géométriques Économiques (coût, bénéfice, coût moyen, offre et demande..) Économiques (coût, bénéfice, coût moyen, offre et demande..)


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