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Soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est définie par D éfinition B. Rossetto, EuroMed Management,

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1 Soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est définie par D éfinition B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT Conséquences. Géométriquement, la dérivée est le coefficient angulaire (la pente) de la tangente à f(x) en. En physique, elle exprime la vari - ation locale (ou instantanée lorsque x désigne le temps) de la fonction f. 1 h tangente sécante Notation :

2 E xemple. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 2 h E quation de la tangente. 1.Elle passe par le point 2.Son coefficient angulaire est On trouve tangente

3 E xemple 1. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 3 La croissance exponentielle de la population. Soit y(t) la population (en milliers) etle taux de croissance (par milliers et par an). On a léquation différentielle (la relation entre y et sa dérivée): dont la solution est Cette croissance est très rapide (lexponentielle croît plus vite que nimporte quelle puissance de x). Par exemple La population double tous les Cas où >0 et y(0) = 0.

4 E xemple 2. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 4 Décroissance exponentielle de la population. Si < 0, la population décroît La population a diminuée de moitié lorsque Cas où < 0 La tangente recoupe laxe horizontal pour

5 E xemple 3. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 5 Intervention extérieure par apport de population. Pour remédier à cette situation, on apporte milliers dindividus par an Létat stationnaire (encore appelé état permanent) correspond à Cas où 0. soit

6 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 6 T héorème. La solution de léquation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec une entrée extérieure est : est Si, la solution sécrit : Cas où b et a > 0 et où y(0) = 0 Preuve : on vérifie quelle obéit à léqua. diff. et quelle vérifie la C.I.

7 E xemple 4. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 7 Apport de population dépendant du temps. La solution asymptotique de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec une entrée externe sinusoïdale, est difficile à obtenir mathématiquement. La simulation numérique montre quelle est elle-même sinusoïdale, mais que son amplitude est dautant plus faible que est grand devant et devant =2 On tient compte des variations saisonnières de lapport de la population par une fonction sinusoïdale de période T=1 an. =1, =1 et =1

8 E xemple 5. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 8 Système linéaire prédateur-proie. soit Soit y 1 (t) la population dune proie et y 2 (t) celle dun prédateur. Ce dernier prélève individus par milliers (de prédateurs) et par an. Cette nutrition amène un supplément de a 21 prédateurs par milliers de proies et par an. Les taux de croissance respectifs sont a 11 et a 22. On obtient un système déquations différentielles linéaire homogène à coefficients constants du second ordre, avec a 12 0 dans un système prédateur – proie, que lon sait résoudre mathématiquement:

9 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT9 On pose S = a 11 +a 22 et P = a 11 a 22 - a 12 a 21 et on cherche les racines de léquation caractéristique suivante, qui sont aussi les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [a ij ] : 2 – S+ P = 0 1.COL. Lorsque P<0, les racines (les valeurs propres) 1 et 1 sont réelles et de signe contraire. Le point singulier (point déquilibre, point de repos), localisé en lorigine, est un col. Un col est toujours instable. 2.NŒUD. Lorsque P>0 et S 2 -4P>0, les racines sont réelles et de même signe. Le point singulier est un nœud, stable si S 0. 3.FOYER. Si P>0 et S 2 -4P 0. 4.CENTRE. Si P>0 et S 2 -4P=0, les racines sont imaginaires pures et de signe contraire. Lamplitude de loscillation est constante. Le point singulier est un centre.

10 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT10 1.COL dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de signe contraire. Un col est toujours instable : quelles que soient les C. I. y 1 (0 et y 2 (0) - excepté sur lune des séparatrices du col, ce qui constitue une situation très instable - la solution va à linfini.

11 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT11 2. NŒUD dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de même signe. Le nœud est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure)

12 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT12 3. FOYER dans le plan des phases. Les valeurs propres sont complexes conjuguées. Le foyer est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure)

13 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 13 Equations de Volterra-Lotka. Nous avons vu que le prélèvement est proportionnel à la population des prédateurs y 2, mais il est justifié de considérer quil est aussi proportionnel au nombre de proies y 1. Les taux de croissance respectifs sont inchangés : a 11 et a 22. Ces hypothèses conduisent à un système différentiel non linéaire homogène du second ordre, que lon ne sait pas résoudre mathématiquement: Le tracé du portrait en phase des solutions de léquation de Volterra- Lotka permet une étude qualitative globale des solutions.

14 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 14 Equations de Volterra-Lotka. 1.Points singuliers Ce sont les points d équilibre, définis par :. On trouve : 2. Matrice Jacobienne Léquation aux variations y 1 et y 2 autour dun point y 1 et y 2 est un système linéaire à coefficients constants que lon sait résoudre :

15 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 15 Equations de Volterra-Lotka. 3. Nature des points singuliers Ci-contre : les solutions de léquation de Volterra - Lotka dans le plan des phases pour léquilibre dun système phytoplancton – zooplancton.


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