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Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 1 - Equations différentielles sur la droite.

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1 Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 1 - Equations différentielles sur la droite

2 Déterminisme et équations différentielles Système S dont létat peut évoluer dans le temps On peut considérer lensemble E de tous les états possibles du système Cet ensemble est appelé lespace des états, ou espace des phases Si létat du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors lespace des états est R n ou un sous-ensemble de R n On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné détermine tous ses états futurs Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses futures, et en particulier sa vitesse à ce même instant x2x2 x1x1 x3x3 x2x2 x1x1 x3x3 ? ? ? X(t) (t) = V(x(t)) dx dt

3 A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur lespace des phases, cest le champ des vitesses instantanées dévolution du système Lévolution du système vérifie naturellement léquation différentielle associée à ce champ de vecteur Réciproquement, tout système dont lévolution vérifie une telle équation différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ? Oui, cest le théorème dexistence et dunicité des solutions Le caractère déterministe de lévolution du fait de léquation différentielle peut être illustré par la méthode dEuler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt Le système est dit autonome si le second membre de léquation différentielle ne dépend pas du temps (dans le cas contraire il est dit non autonome) Déterminisme et équations différentielles (suite) x1x1 x2x2 (t) = V(x(t)) dx dt (t) = V(x(t),t) dx dt x V(x)

4 Lorsquune équation fait intervenir plusieurs variables (espace des phases de dimension supérieure ou égale à deux), on parle de système déquations différentielles (par opposition à : équation différentielle scalaire). De nombreuses lois physiques (notamment en mécanique) sécrivent naturellement comme des équations différentielles (ou des systèmes) dordre deux (ou plus). Mais on peut toujours se ramener à un système dordre un, dont les composantes comprennent toutes les dérivées dordre inférieur à lordre de léquation ou du système initial. Exemple : Remarque complémentaire = f(x) d2xd2x dt 2 = y dx dt = f(x) dy dt

5 Objet de la théorie des systèmes dynamiques Etudier le comportement dans le temps des systèmes déterministes, notamment le comportement asympotique lorsque t -> linfini à temps discret : x(n+1)=f(x(n)) à temps continu : dx/dt(t) = f(x(t)) En ce qui concerne les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations différentielles (et autonomes), la complexité du comportement dynamique que lon peut rencontrer est fortement contrainte par la dimension de lespace des phases : dimension 1 : équilibres (et bifurcations déquilibres) dimension 2 : oscillations (solutions périodiques) dimension 3 et plus : comportements « complexes » (« chaotiques ») Question : si on a un système dynamique avec « retard » de la forme : dx/dt = f(x(t-T)), quel niveau de complexité peut-on rencontrer, si x est scalaire (dimension un) ? Réponse : dans ce cas lespace des phases est de dimension infinie, donc on peut avoir tous les types de comportements.

6 Equations différentielles en dimension un

7 dx/dt = f(x) = ax, a>0 x f(x) 1.Linéaire

8 Croissance exponentielle Accroissement linéaire : Exemples Placement rémunéré à taux constant Population en environnement (ressources) illimité X(t+1) - X(t) = a. X(t) dX/dt = a. X(t) X(t) Temps de doublement => croissance exponentielle Croissance = 2% par an temps de doublement : 35 ans 3% par an temps de doublement : 24 ans

9 Population mondiale depuis ans Source : Musée de lHomme

10 Croissance économique depuis un siècle PIB mondial de 1900 à 2000 (reconstitution, car le PIB date de laprès-guerre), en dollars de 1990 x 20 environ Source : Maddison, 1995

11 dx/dt = f(x) x Equilibre stable f(x) 1.Linéaire 2.= 1 + ressources limitées

12 dx/dt = f(x) x Equilibre instable f(x) 1.Linéaire 2.= 1 + ressources limitées 3.= 2 + effet Hallee Equilibre stable

13 dx/dt = f(x) x f(x) 1.Linéaire 2.= 1 + ressources limitées 3.= 2 + effet Hallee 4.= 3 + prélèvement propotionnel à leffectif Equilibre stableEquilibre instable

14 dx/dt = f(x) x f(x) 1.Linéaire 2.= 1 + ressources limitées 3.= 2 + effet Hallee 4.= 3 + prélèvement propotionnel à leffectif

15 dx/dt = f(x) x f(x) 1.Linéaire 2.= 1 + ressources limitées 3.= 2 + effet Hallee 4.= 3 + prélèvement propotionnel à leffectif Equilibre stableEquilibre instable

16 Bifurcation de disparition déquilibres, phénomène de seuil Seuil, irréversibilité, hystérèse Comportement contre-intuitif !

17 Signatures de la bifurcation de disparition déquilibres x = f(x, ) f : R->R < 0 = 0 > 0 x0x0 f( x 0, 0 ) = 0 d x f( x 0, 0 ) = 0 d 2 x f ( x 0, 0 ) = a >0 d f ( x 0, 0 ) = b >0 f( x, ) = a (x- x 0 ) 2 + b ( - 0 ) + … V | - 0 | ~ T ( ) ~ 1 V | - 0 |

18 Bifurcation de disparition déquilibres vue dans un potentiel

19 dx/dt = f(x), f: R -> R Toute solution est monotone Toute solution converge soit vers un équilibre, soit vers + ou – linfini Les équilibres instables jouent le rôle de frontières, « séparateurs » entre les bassins dattraction des équilibres stables Il y a une seule bifurcation de codimension un : la disparition dune paire déquilibres de stabilités opposées (également appelée « bifurcation nœud-col ») En présence de symétries ou de contraintes supplémentaires, on va rencontrer dautres bifurcations Propriétés des équations différentielles en dimension un

20 Bifurcation fourche supercritique : Bifurcation fourche sous-critique : Bifurcation fourche avec brisure de symétrie Bifurcation « fourche »

21 Super-critique Sous-critique

22 Bifurcation « fourche » supercritique


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