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Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 4 - systèmes différentiels dans lespace, dynamiques complexes.

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1 Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 4 - systèmes différentiels dans lespace, dynamiques complexes

2 Systèmes différentiels en dimension 3 : comportements « complexes »

3 Application du boulanger

4 Attracteur étrange et transformation du boulanger

5 Exemples de systèmes chaotiques Mécanique celeste Double pendule (voir vidéos) Convection Fontaine chaotique de Lorentz : analogue mécanique du phénomène de convection (en régime dapparition des rouleaux de convection) (voir vidéo) Billards

6 Modèle de Lorenz Convection

7 Dessin de Poincaré Poincaré (fin 19 ème siècle), découvre des orbites homoclines à des solutions périodiques dans le problème des trois corps plan restreint Approximation dans laquelle les trois corps se meuvent dans un même plan le mouvement des deux corps les plus massifs (le soleil et la terre) est Keplerien (on néglige la masse du troisième, la lune) Poincaré a découvert lexistence dorbites homoclines à des orbites périodiques « hyperboliques » dans ce système

8 Application de premier retour… au voisinage dune orbite périodique = application (« mapping ») du plan, défini au voisinage dun point fixe

9 Application de premier retour au voisinage dune orbite périodique « hyperbolique »

10 Chacune des deux variétés (stable et instable) saccumule sur elle-même. Infinité dorbites homoclines Caractère « autosimilaire » du dessin. Fer à cheval

11 Applications dilatantes de lintervalle E0E0 E0E0 I0I0 I1I1 f(x) x 0 I0I0 I1I1

12 f : E 0 R E 1 = f -1 (E 0 ) = I 0 U I 1 E n = f -n (E 0 ) Pour tout n N, E n a 2 n composantes connexes, pour toute composante connexe J de E n, f n définit une bijection : J E 0 K = f - (E 0 ) ensemble de Cantor h : K 2 + = {0,1} N, x (a 0, a 1, a 2, …) a i = 0 si f i (x) I 0 a i = 1 si f i (x) I 1 h bijection bicontinue, qui conjugue f avec : le shift sur deux symboles K f h h

13 Conséquences : Infinité dorbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes) Pour toute paire dorbites périodiques, infinité dorbites homoclines à ces orbites périodiques Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon ») « Shadowing lemma » : impossibilité de savoir, par lobservation des solutions, si le système est purement déterministe, ou sil est soumis à une petite pertubation aléatoire Analogies : S 1 S 1, n, n N [0;1] [0;1], x 10x mod 1 (décalage de la virgule en base 10)

14 Fer à cheval de Smale

15 K + = f - (E 0 ) ensemble de Cantor K - = f + (E 0 ) ensemble de Cantor K = K + K - h : K 2 = {0,1} Z, x (…, a -2, a -1, a 0, a 1, a 2, …) a i = 0 si f i (x) I 0 a i = 1 si f i (x) I 1 h bijection bicontinue, qui conjugue f avec : 2 2 le shift sur deux symboles 2 2 K f h h

16 Conséquences : Infinité dorbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes) Pour toute paire dorbites périodiques, infinité dorbites homoclines à ces orbites périodiques Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon ») « Shadowing lemma » : impossibilité de savoir, par lobservation des solutions, si le système est purement déterministe, ou sil est soumis à une petite pertubation aléatoire

17 Application de premier retour au voisinage dun point « saddle focus » Re Im i (codimension 1)

18 Re Im Re Im Dans ce cas, on va avoir de nouveau des horseshoes au voisinage de lorbite homocline au point saddle-focus Les horseshoes persistent par perturbation de la dynamique

19 Application de premier retour au voisinage dun point « saddle focus » (suite)

20 Un attracteur dun mapping de R 3 : le solénoïde

21 Attracteur de Hénon

22 Application logistique

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27 Point fixe du groupe de renormalisation, universalité Opérateur de renormalisation Point fixe Génériquement, le point fixe est hyperbolique Le fait que, dans une famille générique à un paramètre (la famille quadratique) on traverse la variété stable du point fixe pour une seule valeur du paramètre « montre » que cette variété stable est de codimension un Variété instable de dimension un Sous-variétés pour lesquelles les bifurcations de doublement de période se produisent saccumulent sur la variété stable La valeur de la valeur propre instable se retrouve universellement dans les rapports entre les valeurs successives des paramètres de bifurcations dans les phénomènes de cascades de doublement de périodes

28 Polynômes de degré 2 dans C z z 2 +c, c C, z C Re(c) Im(c)

29 R.M. May (1976). "Simple mathematical models with very complicated dynamics". Nature 261: 459


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