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VII) Formalisme Quantique Certains états quantiques ne peuvent être décrits par une fonction donde telle que nous les avons vues (le spin par exemple).

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1 VII) Formalisme Quantique Certains états quantiques ne peuvent être décrits par une fonction donde telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit être généralisé de manière a pouvoir décrire tous les systèmes. En mécanique ondulatoire : Létat du système est décrit par une fonction donde. Dans le formalisme général : Létat du système est décrit par un vecteur détat faisant partie de lespace des états du système. Les vecteurs détat peuvent être associés à une fonction donde, mais ce nest pas obligatoire. Le formalisme quantique se retrouve basé sur les règles du calcul vectoriel dans lespace des états.

2 1) Notation de Dirac

3 Un vecteur quelconque de lespace des états,, est appelé vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole, en mettant à lintérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états. Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction (r), on pourra le noter : : ket psi A tout vecteur-ket de, correspond un vecteur dans lespace dual * que lon nomme vecteur-bra ou bra. Les fonctions que lon manipulait en mécanique ondulatoire étaient complexes. On admettra quil existe un espace dual, *, de lespace des états dont les vecteurs détats peuvent être associés aux fonctions complexes conjuguées des fonctions associées aux vecteurs détat de. : bra psi NB : En anglais, bracket signifie crochet.

4 Quelques propriétés : -Si est un complexe et | > un ket de, alors | > est également un ket de que lon peut noter | >. -Le bra associé à | > est * < | où * est le complexe conjugué de on peut le noter < Attention, on a donc < * < | Produit scalaire : Le produit scalaire de deux kets | > et | > est noté On a les propriétés suivantes = * = = *

5 Normalisation et orthogonalité Mécanique ondulatoireFormalisme quantique =1 normalisation othonormalité = ij La notation de Dirac est plus « légère »

6 Opérateurs : Lorsque lon fait agir lopérateur A sur un ket | >, on obtient un autre ket. A | > = | > De même : A | > = A | A | i : complexes On appelle élément de matrice de A entre et, le produit scalaire : = ( cest un nombre complexe !) Le produit dun ket par un bra est un opérateur ! Si A= | > < | Alors A | > = | > = | > : complexe

7 Opérateurs (suite) : On désigne par opérateur adjoint, A +, de lopérateur A, lopérateur qui vérifie : Si A | > = | > alors < | = < | A + Comme = * Alors = = * = * Doù = * Lorsquun opérateur coïncide avec son adjoint : A= A + On dit que A est HERMITIQUE et lon a = *

8 2) Définir une base dans lespace des états Comme dans tout espace vectoriel, il existe une infinité de bases orthonormées que lon peut définir dans. Si cet espace est de dimension N, alors on aura N vecteurs de base |u i > i=1…N vérifiant la relation dorthonormalité : = ij Et tout ket | > de pourra sécrire : | > = 1 |u 1 > + 2 |u 2 > + 3 |u 3 > +….. + N |u N > = Composantes de | > sur les |u i >

9 Pour calculer les composantes, on utilise un opérateur de projection, P i : = |u i > = 1 |u i > +…..+ i |u i > +….. + N |u i > P i | > = i |u i >

10 Si lon additionne tous les opérateurs projections, on doit retrouver toutes les composantes du vecteur | > On a donc Opérateur identité (ne fait rien) Relation de fermeture Signifie que la base est complète (suffisante pour bien décrire | >)

11 Base discrète et base continue : Lorsque les états sont quantifiés, on a une base discrète détats, et on doit utiliser le signe somme, comme dans les relations précédentes. Lorsque les états ne sont pas quantifiés, on a une base continue, et on doit utiliser le signe intégral. = ij = (a-b) Base continue Base discrète Attention, une base discrète peut être de dimension infinie (N= )! Delta de Dirac

12 Représentation dun ket : Dans la base des |u i > le ket | > est représenté par ses composantes c i Le ket est représenté par le vecteur colonne des coefficients Cette notation implique que la base est clairement définie. Au même ket correspondent des représentations différentes dans différentes bases.

13 Représentation dun bra : Dans lespace dual, le bra associé au ket précédent, dans la base des bras

14 Représentation dun opérateur : Dans la base |u i >, un opérateur A est représenté par une matrice dont les éléments de matrices sont définis par : A ij = Ligne colonne Matrice carrée

15 Laction de A puis de B est représenté par la matrice dont les éléments sont : On peut insérer la relation de fermeture de la base |u i >. Application successive de deux opérateurs : Soient A et B deux opérateurs représentés dans la base des |u i >. Cest la formule usuelle du produit de matrice 1

16 Attention, certains opérateurs ne commutent pas

17 Application dun opérateur à un ket : Si | >= A| > Les composantes de | > sont c i = = En insérant la relation de fermeture : On obtient la formule usuelle du produit matrice-vecteur

18 Le produit scalaire : Si | > et | > sont deux kets, on peut calculer leur produit scalaire en utilisant leur représentation dans une base |u i > : qui est

19 Le produit ket-bra : Nous avons vu que le produit dun ket par un bra est un opérateur Représente une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la ligne i, colonne j, qui vaut 1. (facile à démontrer) On obtient finalement un opérateur dont les éléments de matrice sont : A ij =a i b j *

20 Récapitulatif = = = Ket | > Bra < | Opérateur A AB=C = scalaire | > < | = opérateur

21 Exemple : la monnaie (qu)antique Tétradrachme d'argent Tête d'Athéna avec des feuilles d'olivier sur le casque Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune Vers avant JC

22 Lespace des états pour lobservable « face visible » est composée de deux états propres : Pile, noté par le ket | p >Face, noté par le ket | f > La fonction donde décrivant la pièce est : | > = | f > + | p > Avec =1 peut être différent de car les calculs de probabilités nétaient pas encore très connus à lépoque, et la pièce est très mal équilibrée.

23 Lopérateur suivant permet de « retourner » la pièce : En effet : Sont effet sur la fonction donde est moins clair ! En fait, cet opérateur permute les coefficients (et les probabilités) de chaque face.

24 Lopérateur du tricheur : donne toujours le résultat « pile » lorsque lon mesure la face visible : La combinaison de A et B donne : A et B ne commutent pas

25 Lexemple de la monnaie nest pas très physique, mais il existe beaucoup de systèmes simples à 2 états. Spin de lélectron Polarisation de la lumière

26 Observables : Un opérateur qui peut être associé à une observable doit coïncider avec son adjoint (propriété dhermiticité) et on a alors : = * Au niveau de la matrice représentant lopérateur, cela signifie que : * Les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont complexes conjugués. * Les éléments sur la diagonale principale sont réels. Exemple dobservable : Diagonale principale NB : une matrice réelle symétrique non nulle est toujours une observable

27 Recherche des états propres et des valeurs propres associées à un opérateur : La résolution de léquation A| > = | > est bien connue en algèbre linéaire. La diagonalisation de A permet de déterminer les valeurs de et les kets | > associés. VOUS DEVEZ ABSOLUMENT SAVOIR DIAGONALISER UNE MATRICE. En faisant court, si la matrice A est exprimée dans une base orthonormée : 1) Les valeurs propres sont les solutions de : det(A - 1 ) = 0 2) On trouve les fonctions propres en résolvant le système déquations pour chaque valeur de.

28 Propriétés utiles et fondamentales : Les vecteurs propre dun opérateur sont orthogonaux. La matrice de lopérateur, représentée dans la base de ses vecteurs propres est diagonale. Les éléments diagonaux sont les valeurs propres. Les valeurs propres dune observable sont réelles. Le nombre détats propres est égal à la dimension de la matrice. La même valeur propre peut être associée à plusieurs états propres. On dit quelle est dégénérée.


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