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Sous-espaces de R n : –Définition; –Sous-espaces associés à une matrice; –Bases; –Coordonnées; –Dimension; –Rang. Rappel...

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1 Sous-espaces de R n : –Définition; –Sous-espaces associés à une matrice; –Bases; –Coordonnées; –Dimension; –Rang. Rappel...

2 Aujourdhui Déterminants: –définition; –propriétés; –règle de Cramer; –calcul de linverse dune matrice; –aire et volume; –transformations linéaires.

3 9. Déterminants Aujourdhui, on étudie surtout les « petits » déterminants. Matlab: det(A)

4 Définition du déterminant Pour n, le déterminant dune matrice n n A = [a ij ] est la somme des n termes de la forme a 1j detA 1j, avec les signes plus et moins en alternance et où les éléments a 11, a 12,..., a 1n forment la première ligne de A.

5 Définition du déterminant (suite) De façon symbolique, on écrit: detA = a 11 detA 11 - a 12 detA 12 + … +(-1) 1+n a 1n detA 1n

6 Notation det(A) detA |A||A|

7 Calcul dun déterminant Le déterminant dune matrice n n A peut être calculé par une expansion en cofacteur le long de toute ligne ou de toute colonne. Soit C ij = (-1) i+j detA ij, le cofacteur-(i, j) de la matrice A. Lexpansion le long de la i-ième ligne est donnée par: detA = a i1 C i1 + a i2 C i2 + … + a in C in

8 Calcul dun déterminant (suite) Lexpansion le long de la j-ième colonne est donnée par: detA = a 1j C 1j + a 2j C 2j + … + a nj C nj

9 Que fait un ordinateur? Pour calculer le déterminant dune matrice selon la méthode de lexpansion en cofacteurs, il faut 25! ( ) opérations Gflops ans!!!! Il existe des méthodes plus efficaces (heureusement!)

10 Déterminant dune matrice triangulaire Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

11 Opérations sur les lignes Soit A une matrice carrée. a. Si un multiple dune ligne de A est additionné à une autre ligne pour produire une matrice B, alors det B = det A. b. Si deux lignes de A sont permutées pour produire B, alors det B = -det A. c. Si une ligne de A est multipliée par k pour produire B, alors detB = kdetA.

12 A ~ U detA = (-1) r detU Donc, detA = (-1) r (produits des pivots de U), si A est inversible. detA = 0, si A nest pas inversible.

13 Ordinateurs Les ordinateurs utilisent la méthode précédente. 2n 3 /3 opérations. Matrice 25 25: 10 kflops.

14 Matrices inversibles et déterminants Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A 0.

15 Déterminant de la transposée dune matrice Si A est une matrice n n, alors det A T = det A.

16 Déterminant dun produit de matrices Si A et B sont des matrices n n, alors det AB = (det A)(det B). ATTENTION! det(A+B) detA + detB

17 Règle de Cramer Soit A une matrice réversible n n. Pour tout b R n, lunique solution x du système Ax = b est donnée par où A i (b) = [a 1, … a i-1, b, a i+1, …, a n ].

18 Formule pour calculer linverse dune matrice Soit A une matrice n n inversible. Alors

19 Matrice adjointe La matrice adjointe de la matrice A est la transposée de la matrice des cofacteurs.

20 Calcul de laire et du volume avec des déterminants Si A est une matrice 2 2, laire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est |det A|. Si A est une matrice 3 3, le volume du parallélépipède déterminé par les colonnes de A est |det A|.

21 Matrice diagonale 2 2 y x (a, 0) (0, d) Aire = |ad| Cest vrai.

22 Matrice 2 2 ca1ca1 a 2 + ca 1 a2a2 a 2 + L L a1a1 0

23 Exemple (-7, -4) (-5, 1) (-1, 3) (-3, -2) (6, 7) (0,0) (2,5) (4, 2)

24 Transformations linéaires et calcul de laire Soit T : R 2 R 2 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 2 2. Si S est un parallélogramme dans R 2 alors {aire de T(S)} = |det A|{aire de S}

25 Transformations linéaires et calcul du volume Soit T : R 3 R 3 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 3 3. Si S est un parallélépipède dans R 3 alors {volume de T(S)} = |det A|{volume de S}

26 Prochain cours... Valeurs propres et vecteurs propres.


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