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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre matricielle Algèbre matricielle.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre matricielle Algèbre matricielle

2 Introduction Cette présentation va vous permettre de revoir les différentes notions présentées dans la partie sur lalgèbre matricielle. Il ny a pas dexemples ni dexercices, seulement des éléments théoriques. Il faut être conscient que les exemples et les exercices sont des interventions dans des cas particuliers à partir dun cadre général, la théorie. Les exercices peuvent parfois sembler difficiles ou déroutants sans une bonne compréhension de la théorie et de ses éléments clés, les définitions et les théorèmes. Il faut : Penser globalement pour agir localement de façon efficace Laction locale, cest la résolution de problèmes dans les exercices. Cette action est guidée par la pensée globale, cest-à-dire la connaissance que lon a de la théorie. Lefficacité des interventions locales dépend de la qualité des connaissances théoriques. Sans une bonne compréhension du cadre théorique, les procédures de résolution ne sont que des recettes vite oubliées ou mal appliquées.

3 Matrices et opérations Dans cette première section, nous reverrons la notion de matrice et les opérations sur celles-ci.

4 Matrice On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme : où les a ij sont les éléments de la matrice. Lindice i indique la ligne de lélément et lindice j, sa colonne. Ces indices donnent ladresse de lélément. On dit quune matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n). a 12 est lélément «a «a un deux» et non pas «a «a douze». DÉFINITION a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn m n a ij...

5 DÉFINITION Opérations sur les matrices Soit A = (a ij ) et B = (b ij ), deux matrices de même dimension m n. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimen-sion m n définie par : A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m n et k, un scalaire (nombre réel). La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA et définie par légalité : kA = k(a ij ) = (ka ij )

6 DÉFINITION Transposition et produit Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m n. On appelle matrice transposée de A, notée A t, la matrice de dimension n m dont la i e colonne est la i e ligne de la matrice A pour i = 1, 2,..., m. Soit A = (a ik ) m p et B = (b kj ) p n, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A B (ou AB), est une matrice C = (c ij ) m n dont les éléments c ij sont définis par : c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j a ip b pj, pour tout i et pour tout j.

7 Applications des matrices Dans le cours, on a utilisé les matrices et les opérations sur celles-ci dans les situations suivantes : pour décrire des problèmes de production; pour représenter les systèmes déquations; pour résoudre des systèmes déquations selon différents contextes; -problème de production;-chaînes de Markov; -combinaisons linéaires;-indépendance linéaire; -positions relatives et intersections de droites et de plans.

8 Systèmes déquations et matrices Dans cette deuxième section, nous reverrons les notions présentées sur les systèmes déquations linéaires, homogènes et non homogènes, et linformation que donne la matrice échelon- née sur le type de solution du système.

9 Représentation matricielle Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm On peut décrire tout système déquations linéaires par un produit de matrices. Léquation matricielle doit être sous cette forme pour que lon puisse appliquer les procédures de résolution présentées dans le cours.

10 Problème de production Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm Quantité de chacun des matériaux par unité de chacun des articles à produire Nombre dunités à produire Quantité totale des matériaux Plusieurs problèmes de production peuvent se représenter par une équation matricielle. Lorsque le nombre dunités à produire est connu, on doit effectuer le produit des matrices pour déterminer la quantité de matériaux. Lorsque la quantité totale des matériaux disponibles est connue, on doit résoudre un système déquations linéaires pour déterminer le nombre dunités que lon peut produire.

11 Opérations élémentaires Pour résoudre par la méthode de Gauss, ou par la méthode de Gauss-Jordan, on échelonne en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes : 1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par : L i L j 2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par : L i aL i, où a R\{0} 3. Substituer à la ligne i la somme dun multiple non nul de la ligne i et dun multiple de la ligne j. Cette opération est notée par : L i aL i + bL j, où a R\{0} et b R Opérations élémentaires sur les lignes

12 Matrice échelonnée On utilise les opérations élémentaires pour déterminer la matrice échelonnée (par la méthode de Gauss) ou la matrice échelonnée ré- duite (par la méthode de Gauss-Jordan). DÉFINITION Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont : le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1; le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve. DÉFINITION Une matrice échelonnée est une matrice dont le nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque ligne augmente de ligne en ligne jusquà navoir éventuellement que des zéros. Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul de chaque ligne est appelé le pivot de cette ligne – –3 4 0

13 Variables liées et variables libres DÉFINITION Dans un système déquations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend dune autre variable. Dans la matrice échelonnée dun système déquations, les variables liées sont les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres. 1–23– –113 xzy ux est une variable liée. z est une variable liée. y est une variable libre. u est une variable libre.

14 Système déquations non homogène Un système déquations linéaires non homogène est un système dont au moins une des constantes est non nulle. Nous avons eu à résoudre des systèmes déquations linéaires non homogènes dans les situations suivantes : pour déterminer si un vecteur donné est combinaison linéaire ou est engendré par un ensemble de vecteurs; pour déterminer le point invariant dune chaîne de Markov; pour déterminer la position relative de droites et de plans dans lespace. pour établir un plan de production, connaissant les quantités de matériaux disponibles;

15 Système déquations non homogène On rencontre également des systèmes déquations linéaires non homogènes dont les constantes sont des paramètres. Il faut alors déterminer la condition ou les conditions auxquelles doivent satisfaire les paramètres a, b et c pour que le système ait des solutions. Par exemple : On rencontre ces situations lorsquil faut décrire le sous-espace engendré par un ensemble donné de vecteurs. a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = abcabc xyzxyz

16 Systèmes non homogènes à deux inconnues Dans un système non homogène de deux équations à deux inconnues, on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée abc 0de Solution unique Types de solution Types de graphique abc 00e abc 000, où a 0 et d 0. Aucune solution, où e 0. Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues message dimpossibilité 0 = e 0 Droites concourantes Droites parallèles Droites confondues

17 Systèmes non homogènes à deux inconnues Un système déquations non homogène peut, initialement, avoir plus déquations que dinconnues. Ce nest quaprès avoir échelonné, en comparant le nombre déquations et le nombre dinconnues, que lon peut déterminer le type de solution de ce système. Matrice échelonnée Solution unique Types de solution Types de graphique, où a 0 et e 0. Aucune solution, où f 0. Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues message dimpossibilité 0 = e 0 abc def ghi Matrice initiale dun système non homogène de trois équations à deux inconnues abc 0ef 000 abc 00f 000 abc

18 Types de solution, systèmes à trois inconnues Solution unique SS Lorsquil reste autant déquations que dinconnues après avoir éche- lonné, on a une solution unique. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. abcd 0efg 00hi, où h 0. Infinité de solutions Lorsquil reste moins déquations que dinconnues après avoir éche- lonné, on a une infinité de solutions. Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection. abcd 0efg 0000 abcd 0efg 000i Aucune solution Lorsque la matrice échelonnée com- porte une équation impossible, le système na aucune solution., où a 0 et i 0. Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes. La représentation graphique dune équation à trois inconnues est un plan dans lespace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. Un système déquations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus déquations que dinconnues ou moins déquations que dinconnues. Ce nest quaprès avoir échelonné, en comparant le nombre déquations et dinconnues, que lon peut déterminer le type de solution du système.

19 Système déquations homogène Un système déquations linéaires homogène est un système dont toutes les constantes sont nulles. Un tel système peut avoir une solution unique ou une infinité de solutions. Lorsque les équations du système ont deux inconnues, ils décrivent des droites passant à lorigine. Ces droites peuvent être concourantes ou confondues. Lorsque les équa- tions du système ont trois inconnues, ils décrivent des plans passant à lorigine. Nous avons eu à résoudre des systèmes déquations linéaires homogènes pour déterminer si les vecteurs dun ensemble sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants.

20 Systèmes homogènes à deux inconnues Dans un système homogène de deux équations à deux inconnues, les équations décrivent des droites passant à lorigine. On peut ren- contrer deux situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée ab0 0d0 Solution unique Types de solution Types de graphique ab0 000, où a 0 et d 0. Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues Cette solution est (0; 0), on lappelle la solution triviale. On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

21 Systèmes homogènes à deux inconnues Un système déquations homogène peut, initialement, avoir plus déquations que dinconnues. Ce nest quaprès avoir échelonné, en comparant le nombre déquations et le nombre dinconnues, que lon peut déterminer le type de solution de ce système. Matrice échelonnéeTypes de solution Types de graphique, où a 0 et d 0. ab0 0d0 000 ab ab0 cd0 ef0 Matrice initiale dun système homogène de trois équations à deux inconnues Solution unique Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues Cette solution est (0; 0), on lappelle la solution triviale. On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

22 Systèmes homogènes à trois inconnues Dans un système homogène à trois inconnues, les équations décrivent des plans passant à lorigine, (0; 0; 0), qui est toujours une solution. Lorsque le système homogène échelonné comporte autant déqua- tions que dinconnues, cest la seule solution. On lappelle la solution triviale. Lorsque le système homogène échelonné comporte moins déqua- tions que dinconnues, il y a infinité de solutions quil faut décrire en représentant les variables libres par des paramètres et en exprimant les variables liées en fonction de ces paramètres.

23 Déterminant Dans cette troisième section, nous reverrons la notion de déterminant et les différentes utilisations qui en ont été faites dans le cours.

24 Développement de Laplace DÉFINITION Le déterminant dune matrice carrée A dordre n est défini symbo- liquement de la façon suivante : Pour un développement selon une ligne p quelconque : det A = a p1 C p1 + a p2 C p a pn C pn Pour un développement selon une colonne r quelconque : det A = a 1r C 1r + a 2r C 2r a nr C nr Remarque Le déterminant dune matrice carrée dordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément dune ligne (ou dune colonne) quelconque par son cofacteur.

25 Procédure Calcul et propriétés pour calculer un déterminant à laide des propriétés 1.Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple dune autre colonne (ou dune autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : C i C i + kC j, où k R ou L i L i + kL j, où k R 3.Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) conte- nant les zéros. 4.Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant dordre n – 1.

26 Déterminant et systèmes déquations Lorsquun système déquations linéaires comporte autant déqua- tions que dinconnues, on peut calculer le déterminant de la matrice des coefficients du système, puisque cette matrice est carrée. Pour un système de trois équations à trois inconnues, on a alors : Si det A 0 Système (0; 0; 0) non homogène Solution unique Si det A = 0 Système non homogène Infinité de solutions Infinité de solutions Aucune solution ou Un triplet (a; b; c)c)

27 Méthode de Cramer Théorème Soit un système de trois équations à trois inconnues : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 12 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Ce système admet une solution unique (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (k 1 ; k 2 ; k 3 ) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : b1b2b3b1b2b3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 k 1 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 b1b2b3b1b2b3 a 13 a 23 a 33, k 2 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 b1b2b3b1b2b3 et k 3 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

28 Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1.Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour sassurer que le système a une solution unique : det A 0. 2.Construire et calculer le déterminant associé à la i e inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det A i, où i est la colonne associée à la i e inconnue (i = 1,..., n). 3.Calculer le quotient du déterminant associé à linconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : x i = (det A i )/(det A). 4.Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

29 Applications du déterminant Dans le cours, on a calculé un déterminant dans les situations suivantes : pour déterminer si un système déquations linéaires comportant autant déquations que dinconnues a une solution unique ou non; pour résoudre un système déquations par la méthode de Cramer; pour déterminer si trois vecteurs de R 3 sont linéairement indépen- dants ou linéairement dépendants; pour déterminer si trois vecteurs de R 3 sont coplanaires ou non; pour déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans R 3 ; pour déterminer le produit mixte de trois vecteurs dans R 3 ; pour calculer le volume dun parallélépipède; pour trouver léquation dun plan passant par trois points connus; pour calculer des distances dans R 3.

30 Matrice inverse Dans cette quatrième section, nous reverrons les procédures pour déterminer une matrice inverse et lutilisation que lon peut en faire pour résoudre un système déquations linéaires ou pour déterminer une transformation linéaire inverse.

31 Matrice inverse DÉFINITION Soit A, une matrice carrée dordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A –1 telle que : A A –1 = A –1 A = I où I est la matrice identité dordre n.

32 Procédure de Gauss-Jordan Procédure pour construire la matrice inverse 1.Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre. 2.Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée. 3.Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe. 4.Sassurer quil ny a pas eu derreurs de calcul en vérifiant que A A –1 = I.

33 Procédure de la matrice adjointe Procédure pour construire la matrice inverse 1.Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible. 2.Construire la matrice des cofacteurs (cof A). 3.Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A) t ) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse. 4.Sassurer quil ny a pas eu derreurs de calcul en vérifiant que A A –1 = I ou encore en vérifiant que A (adjA) = (det A)I.

34 Matrice inversible Théorème Critère dinversibilité dune matrice Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si : det A 0 Unicité de la matrice inverse Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors linverse de A est unique.

35 Matrice inverse et système déquations linéaires Soit un système déquations linéaires représenté sous forme matricielle par A X = B, où A est une matrice carrée dordre n inversible. On peut alors multiplier des deux côtés de légalité par la matrice inverse A –1. Cela donne : A –1 A X = A –1 B Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A –1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système déquations linéaires. doù : I X = A –1 B, puisque A –1 A = I et :X = A –1 B, car I X = X

36 Applications de la matrice inverse Dans le cours, on a utilisé la matrice inverse dans les situations suivantes : pour résoudre un système déquations linéaires comportant autant déquations que dinconnues et dont le déterminant de la matrice des coefficients est non nul; pour déterminer le point invariant dune chaîne de Markov; pour décoder un message qui a été codé par une matrice;

37 Conclusion Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments importants de la partie sur lalgèbre matricielle et des applications qui ont été faites de ces notions dans lensemble du cours. Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation, les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important pour votre préparation à lexamen synthèse que vous preniez le temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et applications que vous ne maîtrisez pas.

38 Exercices de synthèse Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitre 13.


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