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VI – Rang dune matrice Mots clés : Rang. Exemple : Définition 1 : Rang dune matrice.

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1 VI – Rang dune matrice Mots clés : Rang

2 Exemple : Définition 1 : Rang dune matrice

3 Exemple : Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang

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5 Exemple : Proposition 1 : rang(AB) rang(A)

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7 Exemple : Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)

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9 Exemple : Théorème 5 : rang( t A)=rang(A)

10 Exemple : Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)

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12 VI – Systèmes linéaires Mots clés : Equations, Inconnues, Constantes, Coefficients, Système homogène, Système trivial, Système incompatible, Inconnues pivots, Inconnues libres, Solution homogène, Solutions canoniques.

13 Définition 1 : p=3 inconnues x 1, x 2 et x 3 n=2 équations n=2 constantes -5 et 4 nxp=2x3=6 coefficients p=2 inconnues x 1 et x 2 n=3 équations n=3 constantes 2, 0 et 4 nxp=3x2=6 coefficients

14 Remarque 1

15 Définition 2

16 Définition 3 s 1 =1, s 2 = 2, s 3 = 4 est une solution du système :

17 Remarque 2 : Rappel : C=AB les colonnes de C sont des combinaisons linéaires des colonnes de A : C j =AB j et K (=AX) est une matrice colonne. Remarque 3 : En effet : A0=0

18 Définition 4 : La somme des deux premières équations donne 2x 1 =2 doù x 1 =1. En remplaçant dans la 2 eme équation on obtient x 1 =x 2 =1 En remplaçant dans la 3 eme équation on obtient 3=4 Impossible! donc le système est incompatible On a vu que le système de lexemple 1 est compatible

19 Remarque 4 : Le système est compatible si et seulement si K appartient à lensemble engendré par les colonnes de A. En effet Théorème 1 : AB=C C J =AB J Donc AX=K K =AX

20 Définition 5 : Deux systèmes linéaires sont équivalents sils ont le même ensemble de solutions Remarque 5 : Cette relation est une relation déquivalence –Réflexive –Symétrique –Transitive

21 Proposition 1 : Soit AX=K un système linéaire et (A|K) sa matrice augmentée. Si (A|K) est ligne-équivalente à (B|H) alors AX=K et BX=H sont équivalents

22 En pratique : En donnant des valeurs à x 3 on obtient celles de x 1 et x 2

23 Définition 6 : Deux inconnues pivots : x 1 et x 2 une inconnue libre : x 3

24 Théorème 6 : Le système est donc incompatible

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26 Théorème 6 : Le système admet donc une solution unique : x 1 =2 ; x 2 =3

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28 Théorème 6 : Le système admet donc une infinité de solutions

29 Remarque 5 : Par exemple : x 3 =4 on obtient : x 1 =1 et x 2 =2 ou : x 3 =5 on obtient : x 1 =-1 et x 2 =-1

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31 Définition 7 : Lensemble solution dun système linéaire homogène AX=0 est appelé noyau de la matrice A. On le note Ker(A) Proposition 2 : Soit un système linéaire homogène AX=0 alors : (a) 0 Ker(A) (b) Si S 1 Ker(A) et S 2 Ker(A) alors S 1 + S 2 Ker(A) (c) Si S Ker(A) et R alors S 1 Ker(A)

32 Définition 8 : 3 inconnues pivots : x 1, x 2 et x 4 3 inconnues libres : x 3, x 5 et x 6

33 Définition 8 :

34 3 solutions canoniques

35 Théorème 7 :

36 3 inconnues pivots : x 1, x 2 et x 4 3 inconnues libres : x 3, x 5 et x 6

37 Théorème 7 : S= S h +S p


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