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Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème Terminale ES Spécialité GRAPHES.

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1 Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème Terminale ES Spécialité GRAPHES

2 Définitions : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. La longueur dune chaîne est le nombre darêtes qui la composent Chaîne ( ) Longueur de la chaîne ( ) :4

3 Théorème : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j Nombre de chaînes de longueur 2 reliant 2 à 2 :

4 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Pour r = 1, a ij (1) = a ij est le nombre darêtes reliant i à j, cest donc le nombre de chaînes de longueur 1 reliant i à j.

5 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion dune chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et dune arête reliant h à j. i j h Pour r = 3

6 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion dune chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et dune arête reliant h à j. i j h Pour r = 3 Sil y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. a hj a ih (r) Et donc le nombre darêtes de longueur r+1 entre i et j est : a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

7 a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

8 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. Ceci est le terme de rang (i,j) de la matrice A r x A. Cest-à-dire le terme (i,j) de la matrice A r+1. On a donc montré que a ij (r+1) est le nombre de chaînes de longueur r+1 reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. La propriété vraie au rang r+1. i j h Sil y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. a hj a ih (r) Et donc le nombre darêtes de longueur r+1 entre i et j est : a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

9 Conclusion : Pour tout entier r non nul, le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j.


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