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Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème Terminale ES Spécialité GRAPHES.

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1 Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème Terminale ES Spécialité GRAPHES

2 Définitions : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. La longueur dune chaîne est le nombre darêtes qui la composent. 1 2 3 4 Chaîne (1-2-3-2-4) Longueur de la chaîne (1-2-3-2-4) :4

3 Théorème : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. 1 2 3 4 Nombre de chaînes de longueur 2 reliant 2 à 2 :

4 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. 1 2 3 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Pour r = 1, a ij (1) = a ij est le nombre darêtes reliant i à j, cest donc le nombre de chaînes de longueur 1 reliant i à j.

5 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. 1 2 3 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion dune chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et dune arête reliant h à j. i j h Pour r = 3

6 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. 1 2 3 4 h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que a ij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion dune chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et dune arête reliant h à j. i j h Pour r = 3 Sil y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. a hj a ih (r) Et donc le nombre darêtes de longueur r+1 entre i et j est : a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

7 a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

8 Démonstration : La matrice associée à un graphe dordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à lintersection de la i ème ligne et de la j ème colonne vaut k, nombre darêtes reliant i et j. 1 2 3 4 h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. Ceci est le terme de rang (i,j) de la matrice A r x A. Cest-à-dire le terme (i,j) de la matrice A r+1. On a donc montré que a ij (r+1) est le nombre de chaînes de longueur r+1 reliant i à j. Notons a ij le terme général de A et a ij (r) le terme général de A r. La propriété vraie au rang r+1. i j h Sil y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. a hj a ih (r) Et donc le nombre darêtes de longueur r+1 entre i et j est : a i1 (r) a 1j + a i2 (r) a 2j + a i3 (r) a 3j + … + a in (r) a nj

9 Conclusion : Pour tout entier r non nul, le terme (i,j) de la matrice A r donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j.


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