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LES GRAPHES. 1)DEFINITION graphe ( simple orienté )

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1 LES GRAPHES

2 1)DEFINITION graphe ( simple orienté )

3 DEFINITION Un graphe ( simple orienté ) cest un couple ( X, U ) avec X un ensemble fini et U une partie du produit cartésien X 2

4 Exemple : X = U = Les éléments de X sont les sommets ou points du graphe Les éléments de U sont les arcs du graphe Un graphe est valué si à chaque arc est associé un nombre

5 Représentation X= U= pré \ succ x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x1x x2x x3x x4x x4 X1 X3 X2 X 4 x x x 3 x x X 2 x x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 diagramme sagittal tableau matricielDiagramme cartésien

6 2)PLANIFICATION DE LORDONNANCEMENT DES TACHES :

7 Exemple TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

8 DEUX METHODES a)La méthode P.E.R.T b)La méthode M.P.M.

9 a)La méthode P.E.R.T

10 méthode P.E.R.T Chaque arc représente une tâche il est valué par la durée de la tâche A5 B4 D2 C6 TâchesTâches antérieuresDurée A/5 B/4 CB6 DA B2

11 méthode P.E.R.T Chaque sommet représente une étape A5 B4 C6 D2 X1 X2 X3 X4 TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

12 méthode P.E.R.T Les arcs définissent les relations dantériorité A5 B4 C6 D2 X1 X2 X3 X4 TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

13 méthode P.E.R.T Un seul arc entre deux sommets donc introduction de tâches fictives A5 B4 C6 D2 X1 X2 X3 X4 TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2 Fictive durée 0

14 b) La méthode M.P.M.

15 méthode M.P.M. Chaque sommet représente une tâche. C6 A5 B4 D2 TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

16 méthode M.P.M.. On a deux tâches fictives: DEBUT FIN C6 A5 B4 D2 début fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

17 méthode M.P.M. Chaque sommet représente une tâche. On a deux tâches fictives: DEBUT FIN C6 A5 B4 D2 début fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

18 méthode M.P.M. Les arcs définissent les relations dantériorité début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

19 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2 0 0

20 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B

21 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B

22 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B

23 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B

24 méthode M.P.M. Chaque arc est valué par la durée de la tâche placée à son début. tâche DEBUT durée 0 début A5 B4 D2 C6 fin TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B

25 4)DEFINITIONS ET AUTRES REPRESENTATIONS

26 Si (x, y) U alors les sommets x et y sont adjacents, x est lorigine de larc et y lextrémité. x est un prédécesseur (précédent) dy y est un successeur (suivant) de x

27 Un sommet sans prédécesseur cest une entrée. Un sommet sans successeur cest une sortie.

28 Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs sommetsprédécesseurs X1X1 X2X2 X3X3 X4X4

29 Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs sommetsprédécesseurs X1X1 / X2X2 X1X1 X3X3 X 1 X 2 X4X4 X 2 X 3

30 sommetsprédécesseurs A B C D

31 sommetsprédécesseurs A/ B/ CB DA B

32 Tableau ou dictionnaire des successeurs sommetssuccesseurs X1X1 X2X2 X3X3 X4X4

33 sommetssuccesseurs X1X1 X 2 X 3 X2X2 X 3 X 4 X3X3 X4X4 X4X4 /

34 sommetssuccesseurs A B C D

35 sommetssuccesseurs AD BC D C/ D/

36 Matrice adjacente ou booléenne ABCDfin pr \ suc x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 Début00 x1x A 5 x2x B 44 x3x C 6 x4x D 2 Dans un graphe valué on remplace les 1 par la valuation

37 5)ALGORITHME PERMETTANT DOBTENIR LES NIVEAUX ( graphe sans circuit )

38 a) Définitions Un chemin cest une suite de points dun graphe, telle que deux points qui se suivent sont reliés par un arc direct. Ex: Chemins: ( x 1, x 3, x 4 ) ; ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) Nest pas un chemin ( x 1, x 3, x 2 )

39 Un circuit cest un chemin non vide dont lorigine et lextrémité sont confondus. Une boucle cest : un arc (x, x)

40 La longueur dun chemin ( au sens des arcs ) cest le nombre darcs quil faut parcourir pour aller de lorigine à lextrémité du chemin. Ex: Le chemin ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) est de longueur 3

41 Le niveau dun sommet x cest la longueur du plus long chemin au sens des arcs entre lentrée et le sommet x. Ex: x 3 est de niveau 2 et x 4 est de niveau 3

42 b) Recherche des niveaux méthode : sommets de niveau 0 : ceux qui nont pas de prédécesseurs. sommets de niveau 1 : ceux qui nont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0,et ainsi de suite.

43 sommets de niveau 0 : ceux qui nont pas de prédécesseurs sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 X3X3 X 1 X 2 X4X4 X 2 X 3 NIVEAUX

44 sommets de niveau 0 : ceux qui nont pas de prédécesseurs sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 X3X3 X 1 X 2 X4X4 X 2 X 3 NIVEAUXN0 :X 1

45 sommets de niveau 1 : ceux qui nont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 / X3X3 X 1 X 2 X2X2 X4X4 X 2 X 3 NIVEAUXN0 :X 1 N1:

46 sommets de niveau 1 : ceux qui nont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 / X3X3 X 1 X 2 X2X2 X4X4 X 2 X 3 NIVEAUXN0 :X 1 N1:X 2

47 et ainsi de suite sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 / X3X3 X 1 X 2 X2X2 / X4X4 X 2 X 3 X3X3 NIVEAUXN0 :X 1 N1:X 2 N2:X 3

48 et ainsi de suite sommetsSommets précédents X1X1 / X2X2 X1X1 / X3X3 X 1 X 2 X2X2 / X4X4 X 2 X 3 X3X3 / NIVEAUXN0 :X 1 N1:X 2 N2:X 3 N3:X 4

49 sommets de niveau 0 : ceux qui nont pas de prédécesseurs SommetsSommets précédents A/ B/ CB DA B NIVEAUX

50 sommets de niveau 0 : ceux qui nont pas de prédécesseurs SommetsSommets précédents A/ B/ CB DA B NIVEAUXN0 :A B

51 sommets de niveau 1 : ceux qui nont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 SommetsSommets précédents A/ B/ CB/ DA B/ NIVEAUXN0:A BN1:C D

52 3)ALGORITHME PERMETTANT DOBTENIR LE CHEMIN DE VALEUR OPTIMALE.Cas du MPM.

53 Exemple TâchesTâches antérieures Durée A/5 B/4 CB6 DA B2

54 Date de début au plus tôt dune tâche: valeur du chemin maximal depuis le début.

55 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 6C 0 4B 0 fin 2 6

56 Date de début au plus tôt dune tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 6C 0 4B 0 fin 2 6

57 Date de début au plus tôt dune tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 6C 0 4B 0 fin 2 6

58 Date de début au plus tôt dune tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 6C 0 4B 0 10 fin 2 6

59 Date de début au plus tard dune tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin.(donc valeur minimale).

60 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 6C 0 4B 0 10 fin 2 6

61 Date de début au plus tard dune tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin.(donc valeur minimale). 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 6C 0 4B 0 10 fin 2 6

62 Date de début au plus tard dune tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin.(donc valeur minimale) A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

63 Date de début au plus tard dune tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin.(donc valeur minimale). 0 5A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

64 Date de début au plus tard dune tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin.(donc valeur minimale) A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

65 Graphe M.P.M A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

66 Tâche critique Une tâche est critique si tout retard apporté à son début au plus tôt retarde la date de fin au plus tôt du projet (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ).

67 Tâche critique (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ) A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

68 Chemin critique Chemin critique : il est formé des tâches critiques Une tâche est critique si tout retard apporté à son début au plus tôt retarde la date de fin au plus tôt du projet (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ).

69 Chemin critique ( date de début au plus tôt = date de début au plus tard ) A Début au plus tard Début au plus tôt duréetâche début D 4 4 6C 0 0 4B 0 10 fin 2 6

70 Marges

71 Marge totale dune tâche le retard maximal que lon peut admettre au démarrage dune tâche sans remettre en cause la durée du projet. (date de début au plus tard de la tâche)-( date de début au plus tôt de la tâche)

72 Marge totale dune tâche Marges totales date de début au plus tard de la tâche moinsdate de début au plus tôt de la tâche A: = 3 B: = 0 C: = 0 D: = 3

73 Marge libre dune tâche : le retard maximal que lon peut admettre au démarrage dune tâche sans remettre en cause le début au plus tôt des tâches suivantes. (plus petit début au plus tôt qui suit)-(Date de début au plus tôt de la tâche)-(durée de la tâche))

74 Marge libre dune tâche : Marges libres plus petit début au plus tôt qui suit moins Date de début au plus tôt de la tâche moinsdurée de la tâche A: =0 B: =0 C: =0 D: =3

75 fin

76 6)ALGORITHME PERMETTANT DOBTENIR LES CHEMINS DE LONGUEUR p

77 a) Définitions Un chemin cest une suite de points dun graphe, telle que deux points qui se suivent sont reliés par un arc direct. Ex:

78 La longueur dun chemin ( au sens des arcs ) cest le nombre darcs quil faut parcourir pour aller de lorigine à lextrémité du chemin. Ex:

79 b)Propriété Soit M la Matrice adjacente ou booléenne dun graphe et soit M p =(c i,j ) la puissance p de M alors c i,j est le nombre de chemins de longueur p allant du sommet i au sommet j.

80 c)Remarques Soit n le nombre de sommets Si M n 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal a i,i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (cest à dire un circuit )

81 c)Remarques Soit n le nombre de sommets Si M n 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal a i,i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (cest à dire un circuit ) Les colonnes de zéros de M n permettent de retrouver les nivaux.

82 c)Remarques Soit n le nombre de sommets Si M n 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal a i,i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (cest à dire un circuit ) Les colonnes de zéros de M n permettent de retrouver les nivaux.

83 Exemple M = a b c

84 Exemple M = M 2 = a b c

85 Exemple M = M 2 = Chemins de longueur 2 : de a à a :(a, c, a) et (a, a, a ) de a à c :(a, a, c) a b c

86 Exemple M = M 2 = M 3 = a b c

87 Exemple M = M 2 = M 3 = Chemins de longueur 3 : de a à a :a->c->a->a et a->a->c->a et a->a->a->a de c à a :c->a->a->a et c->a->c->a a b c

88 7) ALGORITHME PERMETTANT DOBTENIR LA FERMETURE TRANSITIVE.

89 A) Opérations sur les relations a)Union Soit R et R deux relations sur un ensemble E, leur réunion R R cest la relation dont le graphe est la réunion des arcs de R et de R. Exemple

90 R R M= M= = a b c ac b b a c M M Somme Booléenne La matrice de R R cest M M

91 b)composition : R suivi de R

92 R R R suivi de R M= M= = a b c ac b b a c M M Produit Booléen La matrice de R suivi de R cest M M

93 B) Fermeture transitive de R : Transitivité Une relation est transitive si : ( x)( y)( z) (( xRy et yRz ) xRz )

94 Pour la fermeture transitive si on a xRy et yRz on ajoute xRz par transitivit é R fermeture transitive sa matrice = a b c a c b

95 Remarque : La matrice de la fermeture transitive est = M M [2] M [3] M [4] +……

96 fin

97 3)DEFINITIONS ET AUTRES REPRESENTATIONS

98 Si (x, y) U alors les sommets x et y sont adjacents, x est lorigine de larc et y lextrémité. x est un prédécesseur (précédent) dy y est un successeur (suivant) de x

99 Un sommet sans prédécesseur cest une entrée. Un sommet sans successeur cest une sortie.

100 Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs

101 sommetsprédécesseurs X1X1 X2X2 X3X3 X4X4

102 sommetsprédécesseurs X1X1 / X2X2 X1X1 X3X3 X 1 X 2 X4X4 X 2 X 3

103 sommetsprédécesseurs A B C D

104 sommetsprédécesseurs A/ B/ CB DA B

105 Tableau ou dictionnaire des successeurs

106 sommetssuccesseurs X1X1 X2X2 X3X3 X4X4

107 sommetssuccesseurs X1X1 X 2 X 3 X2X2 X 3 X 4 X3X3 X4X4 X4X4 /

108 sommetssuccesseurs A B C D

109 sommetssuccesseurs AD BC D C/ D/

110

111 Matrice adjacente ou booléenne


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