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Introduction à la Théorie des graphes Optimisation dans les réseaux.

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1 Introduction à la Théorie des graphes Optimisation dans les réseaux

2 Plan Définitions et exemples Définitions et exemples Problème du plus court chemin Problème du plus court chemin Problème de flot maximal Problème de flot maximal Problème de connexion minimale Problème de connexion minimale Problème du voyageur du commerce Problème du voyageur du commerce

3 Ponts de Konigsberg

4 Définitions Graphe non orienté : Graphe non orienté : Graphe orienté : Graphe orienté :

5 Dictionnaire des précédents (graphe orienté)

6 Matrice dun graphe orienté

7 Définiton Degré dun sommet : nombre darêtes reliées à ce sommet Degré dun sommet : nombre darêtes reliées à ce sommet Le sommet A est de degré 3 : (B, C et D aussi)

8 Types de graphes CYCLE : On peut partir dun sommet et revenir a ce sommet en parcourant une et une seule fois les autres sommets CYCLE : On peut partir dun sommet et revenir a ce sommet en parcourant une et une seule fois les autres sommets

9 Chaîne Suite de sommets reliés par une seule arête

10 Types de chaînes Chaîne hamiltonienne : Chaîne hamiltonienne : Chaîne passant par tous les sommets dun graphe ABCD (ABDC, ACBD aussi) ABDC, ACBD

11 Types de chaînes Chaîne eulérienne : Chaîne eulérienne : Chaîne passant par toutes les arêtes dun graphe (BACBDC)

12 Types de cycles Cycle eulérien : passant une seule fois par toutes les arêtes dun graphe et revenant au sommet de départ. Cycle eulérien : passant une seule fois par toutes les arêtes dun graphe et revenant au sommet de départ. Cycle hamiltonien : passant une seule fois par tous les sommets dun graphe et revenant au sommet de départ. Cycle hamiltonien : passant une seule fois par tous les sommets dun graphe et revenant au sommet de départ.

13 Exemple Existe-t-il un cycle eulérien ?? CDBCABEC

14 Graphe eulérien Graphe qui possède un cycle Eulérien

15 Théorème dEuler (1766) Graphe eulérien Tous les sommêts Graphe eulérien Tous les sommêts du graphe ont un degré pair du graphe ont un degré pair OUI NON OUI NON

16 Connexité Graphe non connexe : Graphe non connexe : Il existe des sommets non reliés entre eux Graphe connexe : Graphe connexe : Tous les sommets sont reliés entre eux

17 Retour à Konigsberg

18 Sous forme de graphe Les sommets = quartiers Les sommets = quartiers Les arcs = Les ponts Les arcs = Les ponts Le problème le graphe est il eulérien ? Le problème le graphe est il eulérien ? Théorème NON Théorème NON

19 Exemples Tournée sans répétition Exemples Tournée sans répétition Est-il possible de tracer une courbe coupant chacun des 16 segments de la figure exactement une et une seule fois ? Est-il possible de tracer une courbe coupant chacun des 16 segments de la figure exactement une et une seule fois ?

20 Sous forme de graphe

21 Conclusion Le problème consiste à construire un cycle eulérien : Le problème consiste à construire un cycle eulérien : Théorème dEuler : impossible, car le sommet e; par exemple, est de degré 5

22 Coloriage des sommets dun graphe non orienté Nombre chromatique : Nombre chromatique : affecter tous les sommets dun graphe dune couleur de telle sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. Le nombre nécessaire de couleur = Nombre chromatique

23 Exemple 1 ? Couleur 1 :A, C couleur 2 : B; D Nombre chromatique = 2

24 Exemple 2

25 Nombre chromatique = 3

26 Application : Planning dexamens Une université doit organiser les horaires des examens. On suppose quil y a 7 épreuves à planifier, numérotées de 1 à 7 : Une université doit organiser les horaires des examens. On suppose quil y a 7 épreuves à planifier, numérotées de 1 à 7 : Les paires de cours suivantes ont des étudiants en commun : 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 7, 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, 2 et 7, 3 et 4, 3 et 6, 3 et 7, 4 et 5, 4 et 6, 5 et 6, 5 et 7, 6 et 7. Les paires de cours suivantes ont des étudiants en commun : 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 7, 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, 2 et 7, 3 et 4, 3 et 6, 3 et 7, 4 et 5, 4 et 6, 5 et 6, 5 et 7, 6 et 7. Comment organiser ces épreuves de façon quaucun étudiant nait à passer deux épreuves en même temps et cela sur une durée minimale ? Comment organiser ces épreuves de façon quaucun étudiant nait à passer deux épreuves en même temps et cela sur une durée minimale ?

27 Modélisation sous forme de graphe

28 Résolution Planifier les examens en un temps minimal consiste à déterminer une coloration en k couleurs des sommets du graphe, k étant le nombre chromatique du graphe : La partition minimale des sommets est (k = 4)

29 Conclusion k = 4 : les examens peuvent être répartis en k = 4 : les examens peuvent être répartis en 4 périodes, de la manière suivante : période 1, épreuves des cours 1 et 6 période 1, épreuves des cours 1 et 6 période 2, épreuve du cours 2 période 2, épreuve du cours 2 période 3, épreuves des cours 3 et 5 période 3, épreuves des cours 3 et 5 période 4, épreuves des cours 4 et 7 période 4, épreuves des cours 4 et 7

30 Répartition de commerciaux A, B, C, D, E, F, G et H désignent huit COMMERCIAUX ; dans le tableau ci-dessous, une croix signifie que les COMMERCIAUX ne sont pas prêts à travailler ensemble : A, B, C, D, E, F, G et H désignent huit COMMERCIAUX ; dans le tableau ci-dessous, une croix signifie que les COMMERCIAUX ne sont pas prêts à travailler ensemble :

31 Question Quel nombre minimum déquipes faut-il ?

32 Modélisation sous forme de graphe

33 Donc 4 équipes

34 Optimisation dans les réseaux Le problème du plus court chemin SKJTULE S125 K13 J321 T1 U14 L2 E

35 Méthode de FORD Niveaux du graphe Niveaux du graphe Graphe ordonnancé en niveaux Graphe ordonnancé en niveaux Le calcul du chemin le plus court Le calcul du chemin le plus court

36 Dictionnaire des précédents et niveaux du graphe Niveau 1 : J Niveau 2 : K, U Niveau 3 : S Niveau 4 : T, L Niveau 5 : E

37 Graphe ordonnancé en niveaux

38 Calcul du chemin optimal La fonction m Départ : m(J) = 0 Départ : m(J) = 0 Pour un sommet X : Pour un sommet X : m(X) = min {m(Y)+d(Y, X) ; Y précédent de X}

39 m(J) = 0; m(K) = m(J)+2 = 0 +2 = 2 m(U) = m(J)+1 = 0 +1 = 1 m(S) = min{m(K)+1; m(J)+3; m(U)+1} = min{3 ; 3 ; 2} = 2 = min{3 ; 3 ; 2} = 2 m(T) = min{m(K)+3; m(S)+1}= 3 m(L) = min{m(U)+4; m(S)+2}= 4 m(E) = min{m(T)+1; m(S)+5; m(L)+2}=4

40 Conclusion Le chemin le plus court est : E T S U J E T S U J JU STE !!!


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