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Algorithmes et structures de données avancées Cours 4 Patrick Reuter

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1 Algorithmes et structures de données avancées Cours 4 Patrick Reuter

2 function calculer(noeud : p_t_noeud) : integer; begin if (noeud^.contenu = '+') then result := calculer(noeud^.gauche) + calculer(noeud^.droite) else if (noeud^.contenu = '-') then result := calculer(noeud^.gauche) - calculer(noeud^.droite) else if (noeud^.contenu = '*') then result := calculer(noeud^.gauche) * calculer(noeud^.droite) else if (noeud^.contenu = '/') then result := calculer(noeud^.gauche) DIV calculer(noeud^.droite) else result := StrToInt(noeud^.contenu); end; + *6 23

3 Attention : Pour la notation infix, il faut des parenthèses… + * * Infix : 2*3+6 (resultat : 12) Prefix : +*236 Postfix 23*6+ Infix : 2*3+6 (resultat : 18) Prefix: *2+36 Postfix: 236+*

4 procedure infixparentheses(noeud : p_t_noeud); begin if (noeud^.gauche <> NIL) then begin Write(' ( '); infixparentheses (noeud^.gauche); end; Write(noeud^.contenu); if (noeud^.droite <> NIL) then begin infixparentheses (noeud^.droite); Write(' ) '); end;

5

6 Graphe eulérien Peut-on commencer une promenade sur une île ou une rive, terminer la promenade sur n'importe quelle autre (ou la même) île ou rive en passant exactement une fois sur chacun des ponts?

7 Abstraction

8 Les graphes Sommets (« nœuds ») Arêtes (« arcs »)

9 Motivation Illustration des objets et leurs relations entre eux Une des structures de données les plus importantes Applications dans dautres disciplines –Chimie –Économie –Sociologie..

10 Les graphes Un graphe G = (V,E) un couple de deux ensembles –Un ensemble V(G) = {v 1, v 2, …, v n } de sommets (anglais : one vertex, two vertices) –Un ensemble E(G) V x V darêtes (anglais : edges)

11 Les graphes On peut distinguer deux types de graphes –les graphes non orientés. –les graphes orientés

12 Graphe non orienté est cousin de (relation symétrique)

13 Exemples

14 Graphe orienté est fils de

15 Exemples

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17 Exemple Le graphe du web peut être modélisé par un graphe orienté (V,E) de la manière suivante: –les sommets sont des pages web –étant données 2 pages web a et b, il existe une arête (a,b) dans E si et seulement s'il existe un lien hypertexte dans la page a qui pointe vers la page b.

18 Définitions Attention : Il existe pleines de définitions différentes, attention à la nomenclature utilisée

19 Degré dun sommet Le degré dun sommet, noté d(s) avec s V, est le nombre de brins ayant s comme extrémité Une boucle compte deux fois

20 Exemple de degré

21 Définitions Adjacence et Voisinage –Deux sommets sont dits adjacents lorsqu'ils sont reliés par une arête –On dit aussi que ces sommets sont voisins. –Le voisinage d'un sommet dans un graphe est l'ensemble de ses voisins.

22 Définitions Un sommet est dit isolé lorsquil est du degré 0 Parité des sommets –un sommet est pair si son degré est pair. –un sommet est impair si son degré est impair.

23 Définitions Soit G = (V,E) un graphe. Un sous-graphe de G est un graphe G' = (V',E') tel que: V E on dit donc G' G Une clique dans un graphe G est un sous- graphe de G qui est complet.

24 Exemple

25 Graphe

26 Exemple Clique Sous-graphe Ni sous-graphe, Ni clique

27 Définitions Un graphe régulier est un graphe où chaque sommet est de degré k. Un graphe complet est un graphe dont tous les sommets sont reliés deux à deux.

28 Isomorphisme Deux graphes G 1 = (V 1,E 1 ) et G 2 = (V 2,E 2 ) sont dites isomorphe sil existe au moins une fonction bijective f telle que (u, v) E 1 (f(u), f(v)) E 2

29 Exemple uABCDE f(u)43521 AB C D E


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