La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications."— Transcription de la présentation:

1 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

2 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet2 Les grandes lignes du cours Définitions de base Définitions de base Connexité Connexité Les plus courts chemins Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Coloriage de graphes, graphes planaires Couplage Couplage Chemins dEuler et de Hamilton Chemins dEuler et de Hamilton Problèmes NP-complets Problèmes NP-complets

3 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet3 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs !

4 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet4 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs !

5 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet5 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 5 couleurs !

6 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet6 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 2 couleurs suffisent !

7 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet7 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! –Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique dun graphe G, noté « ( G ) » (lettre grecque chi de « », qui signifie couleur). Mais 2 couleurs suffisent !

8 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet8 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences !

9 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet9 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins !

10 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet10 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! M

11 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet11 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! M

12 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet12 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! M

13 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet13 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins !

14 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet14 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs !

15 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet15 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs !

16 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet16 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 6 couleurs !

17 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet17 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 4 couleurs suffisent !

18 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet18 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves

19 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet19 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux !

20 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet20 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux ! Créneaux horaires sous forme de couleurs !

21 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet21 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux ! Créneaux horaires sous forme de couleurs !

22 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet22 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux ! Créneaux horaires sous forme de couleurs !

23 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet23 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux ! Créneaux horaires sous forme de couleurs !

24 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet24 Le problème des 4 couleurs L E P R O B L E M E D E S Q U A T R E C O U L E U R S ! ! !

25 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet25 Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

26 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet26 Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

27 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet27 Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes !

28 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet28 Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! Cest un problème de coloriage des sommets dun graphe !

29 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet29 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires !

30 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet30 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent !

31 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet31 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent !

32 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet32 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !

33 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet33 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.

34 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet34 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???

35 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet35 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !

36 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet36 Les graphes planaires L E S G R A P H E S P L A N A I R E S ! ! !

37 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet37 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

38 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet38 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI !

39 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet39 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI !

40 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet40 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI !

41 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet41 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI !

42 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet42 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête !

43 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet43 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête !

44 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet44 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête !

45 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet45 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête !

46 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet46 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cest le graphe bi-parti complet 3 – 3 : K ! 3,3

47 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet47 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 En construction !

48 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet48 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 En construction !

49 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet49 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 En construction !

50 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet50 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 En construction !

51 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet51 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 Le voilà !

52 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet52 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 Le voilà !

53 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet53 Les graphes planaires Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !

54 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet54 Les graphes planaires Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !

55 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet55 Les graphes planaires Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !

56 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet56 Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 53,3

57 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet57 Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 53,3 Planaire ou non ?

58 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet58 Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 53,3 Planaire ou non ? NON ! K 3,3

59 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet59 Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante :Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante : G

60 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet60 Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante :Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante : GG

61 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet61 Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante :Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante : GG G

62 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet62 Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante :Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante : GG GG

63 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet63 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3

64 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet64 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ?

65 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet65 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe !

66 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet66 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe !

67 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet67 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe ! Contraction !

68 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet68 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe ! NON ! K 3,3

69 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet69 Les graphes planaires Attention :Attention : –Nous navons pas encore dit comment il faut faire concrètement pour trouver une représentation planaire dun graphe qui lest ! Applications :Applications : –Organisation de circuits électroniques !

70 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet70 Coloriage des sommets C O L O R I A G E D E S S O M M E T S ! ! !

71 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet71 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1

72 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet72 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2.

73 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet73 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. Les sommets dune clique doivent tous avoir des couleurs différentes !

74 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet74 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. Les sommets dune clique doivent tous avoir des couleurs différentes ! Le nombre chromatique du graphe est au moins aussi grand que la taille de la plus grande clique !

75 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet75 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Il est clair que D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! Nous pouvons trouver une couleur pour tout sommet, même si tous ses voisins ont déjà des couleurs et que celles-ci sont toutes différentes !

76 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet76 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

77 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet77 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! ==

78 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet78 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! ==

79 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet79 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! =<<

80 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet80 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! =<<

81 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet81 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <=

82 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet82 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= En construction !

83 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet83 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= En construction !

84 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet84 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= En construction !

85 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet85 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

86 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet86 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

87 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet87 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

88 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet88 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

89 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet89 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

90 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet90 Coloriage des sommets La question de savoir siLa question de savoir si un graphe « G » peut être colorié à laide de « k » couleurs au plus est NP - complète ! ! ! est NP - complète ! ! !

91 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet91 Coloriage des sommets La question de savoir siLa question de savoir si un graphe « G » peut être colorié à laide de « k » couleurs au plus est NP - complète ! ! ! est NP - complète ! ! ! Le problème deLe problème de minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G » est NP - difficile ! ! ! est NP - difficile ! ! !

92 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet92 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u

93 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet93 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u

94 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet94 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u

95 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet95 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u

96 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet96 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u 5 couleurs !

97 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet97 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u

98 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet98 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u

99 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet99 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u 3 couleurs !

100 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet100 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u 3 couleurs !

101 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet101 Coloriage des sommets Principe dune énumération complète !Principe dune énumération complète ! –Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! –Certains sommets ont déjà des couleurs ! –« C » est lensemble des couleurs déjà utilisées !

102 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet102 Coloriage des sommets Principe dune énumération complète !Principe dune énumération complète ! –Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! –Certains sommets ont déjà des couleurs ! –« C » est lensemble des couleurs déjà utilisées ! Nous back-trackons pour un sommet « u » enNous back-trackons pour un sommet « u » en –explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins,

103 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet103 Coloriage des sommets Principe dune énumération complète !Principe dune énumération complète ! –Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! –Certains sommets ont déjà des couleurs ! –« C » est lensemble des couleurs déjà utilisées ! Nous back-trackons pour un sommet « u » enNous back-trackons pour un sommet « u » en –explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins, –en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne nous amène à utiliser plus que « m » couleurs !

104 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet104 Coloriage des sommets Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage ! –Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons dune solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne !

105 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet105 Coloriage des sommets Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage ! –Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons dune solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini : –aléatoire, –plus grand degré dabord, –plus au centre dabord, –...

106 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet106 Coloriage des sommets Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage ! –Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons dune solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini : –aléatoire, –plus grand degré dabord, –plus au centre dabord, –... Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si cest possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) :Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si cest possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) : –aléatoire, –lensemble le plus grand ( largest independent set ), –lensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs), –...

107 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet107 Graphes bi-partis G R A P H E S B I – P A R T I S ! ! !

108 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet108 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !

109 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet109 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement ! Aucun sommet nest relié à un autre sommet de même couleur !

110 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet110 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis ! Aucun sommet nest relié à un autre sommet de même couleur !

111 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet111 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis ! Aucun sommet nest relié à un autre sommet de même couleur !

112 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet112 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis ! Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires !Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires ! Aucun sommet nest relié à un autre sommet de même couleur !

113 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet113 Coloriage des arêtes C O L O R I A G E D E S A R E T E S ! ! !

114 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet114 Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs ! –Il faut au moins D ( G ) couleurs ! –En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins !

115 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet115 Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs ! –Il faut au moins D ( G ) couleurs ! –En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs ! –D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! –Théorème de Vizing (1964) ! –Lalgorithme de coloriage est en ( | E | ) !

116 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet116 Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs ! –Il faut au moins D ( G ) couleurs ! –En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs ! –D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! –Théorème de Vizing (1964) ! –Lalgorithme de coloriage est en ( | E | ) !

117 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet117 Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs ! –Il faut au moins D ( G ) couleurs ! –En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs ! –D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! –Théorème de Vizing (1964) ! –Lalgorithme de coloriage est en ( | E | ) !

118 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet118 Coloriage des arêtes T H E O R E M E D E V I Z I N G ! ! !

119 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet119 Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! m1

120 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet120 Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! Lhypothèse :Lhypothèse : –G = ( V, { e,..., e } ) est colorié ! m1 1 i-1i-1i-1i-1 i-1i-1i-1i-1

121 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet121 Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! Lhypothèse :Lhypothèse : –G = ( V, { e,..., e } ) est colorié ! Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e ! m1 1 i-1i-1i-1i-1 i-1i-1i-1i-1 ii

122 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet122 Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! Lhypothèse :Lhypothèse : –G = ( V, { e,..., e } ) est colorié ! Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e ! Notation :Notation : –Abs( u ) est lensemble des couleurs absentes du sommet « u » ! –Abs( u ) nest jamais vide ! ! ! m1 1 i-1i-1i-1i-1 i-1i-1i-1i-1 ii

123 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet123 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! i1 v w 1

124 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet124 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! i1 1 v w 1 v

125 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet125 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable : –Abs( v ) Abs( w ) est vide ! i1 1 v w 1 v 1 v v w 1 ?

126 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet126 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable : –Abs( v ) Abs( w ) est vide ! –Soit c Abs( v ) ! i1 1 v w 1 v 1 v 11 v w 1 Sans c 1 ?

127 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet127 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable : –Abs( v ) Abs( w ) est vide ! –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! i1 1 v w 1 v 1 v 11 v w 1 Sans c 1 1 / ?

128 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet128 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable : –Abs( v ) Abs( w ) est vide ! –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! i1 1 v w 1 v 1 v 11 v w 1 Sans c 1 1 / 221 v 2 c 1 ?

129 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet129 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ?

130 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet130 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v ?

131 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet131 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v 1 c XX ?

132 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet132 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! –c peut être utilisée pour ( v, w ) ! ! ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v 1 c XX 11 c 1

133 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet133 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! –c peut être utilisée pour ( v, w ) ! ! ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v 1 c XX 11 c 1 v w 1 1 v 2 c 1 ? devient v w 1 1 v 2 c 1 c XX c 1 c

134 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet134 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! –c peut être utilisée pour ( v, w ) ! ! ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v 1 c XX 11 c 1 v w 1 1 v 2 c 1 ? devient v w 1 1 v 2 c 1 c XX c 1 c

135 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet135 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? 2 v v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ?

136 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet136 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? –Soit c Abs( v ) ! 2 v 22 v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2

137 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet137 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! 2 v 22 v w 1 Sans c 1 2 / 332 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2

138 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet138 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! 2 v 22 v w 1 Sans c 1 2 / 332 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 Nous cherchons...

139 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet139 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! 2 v 22 v w 1 Sans c 1 2 / 332 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 Nous cherchons...

140 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet140 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 ?

141 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet141 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2

142 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet142 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3

143 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet143 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2

144 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet144 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2

145 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet145 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2

146 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet146 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2

147 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet147 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1

148 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet148 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1

149 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet149 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1

150 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet150 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1

151 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet151 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v

152 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet152 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

153 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet153 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

154 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet154 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

155 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet155 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

156 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet156 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

157 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet157 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... h h+1

158 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet158 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! h h+1 i

159 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet159 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile : –Il existe c telle que c Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i 00h v

160 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet160 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile : –Il existe c telle que c Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i 00h v v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1... devient v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1 c 0

161 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet161 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile : –Il existe c telle que c Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i 00h v v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1... devient v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1 c 0 c pour ( v, w ) et c pour ( v, w ), 1 <= i < h. 0hii

162 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet162 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) shs

163 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet163 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge !

164 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet164 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0

165 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet165 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! s1t 0 s

166 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet166 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! s1t 0 s v s c s-1s-1s-1s-1

167 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet167 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! s1t 0 s v s c 0 u 1 c s... u t c s-1s-1s-1s-1

168 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet168 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 P nest pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! v s c 0 u 1 c s... u t c s-1s-1s-1s-1

169 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet169 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 P nest pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! v s c 0 u 1 c s... u t Ce nest pas un cycle : v = u ! ! ! t s / Sans c s c s-1s-1s-1s-1

170 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet170 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 P nest pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! v s c 0 u 1 c s... u t Ce nest pas un cycle : v = u ! ! ! t s / Sans c s w = u,..., w = u, car c Abs( w ) ! ! ! 1 / t-1t-1t-1t-1 / 0 c s-1s-1s-1s-1

171 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet171 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 P nest pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! v s c 0 u 1 c s... u t Ce nest pas un cycle : v = u ! ! ! t s / Sans c s w = u,..., w = u, car c Abs( w ) ! ! ! 1 / t-1t-1t-1t-1 / 0 c s-1s-1s-1s-1

172 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet172 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c 0 u 1 c s... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas )

173 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet173 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c 0 u 1 c s... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) Notons que u peut être égal à v. t h

174 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet174 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c 0 u 1 c s... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! 0s ( Cas ) Notons que u peut être égal à v. t h

175 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet175 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c s u 1 c 0... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! 0s ( Cas ) Notons que u peut être égal à v. t h

176 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet176 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c s u 1 c 0... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! 0s Utilisons c pour ( v, w ) et décalons les autres ! 0 s c 0 ( Cas ) Notons que u peut être égal à v. t h

177 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet177 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c 0 u 1 c s... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas )

178 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet178 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t...

179 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet179 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s

180 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet180 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s c 0 u 1 c s... u t

181 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet181 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s c 0 u 1 c s... u t Maintenant, w = u et nous avons le cas ! t /

182 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet182 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s c s u 1 c 0... u t Maintenant, w = u et nous avons le cas ! t / Pas darête rouge !

183 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet183 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s c s u 1 c 0... u t Maintenant, w = u et nous avons le cas ! t / c 0 Pas darête rouge !

184 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet184 Synthèse Coloriage de graphes.Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires.Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing.Théorème de Vizing. Applications.Applications.

185 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet185 m E r C i e T b O n N e J o U r N é E ! ! ! N o U b L i E z P a S d E p R é P a R e R v O s T D ! ! !


Télécharger ppt "21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications."

Présentations similaires


Annonces Google