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Modélisation par le concept de graphe. Graphe (orienté) G (N, A) N : Ensemble de noeuds (sommets), noté 1,... n, Cardinal (N) = n A : Ensemble de couples.

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1 Modélisation par le concept de graphe

2 Graphe (orienté) G (N, A) N : Ensemble de noeuds (sommets), noté 1,... n, Cardinal (N) = n A : Ensemble de couples issus de N x N - arc - (i, j) : i noeud initial, j noeud final

3 Définitions p-Graphe : Un graphe est un p-graphe ssi pour tout couple (i,j) il n'existe pas plus de p arcs reliant i à j Fonction d'incidence : : A -> N x N Etiquettage des noeuds et des arcs -> G (N, A,,, ) Type abstrait -> fonctions de manipulation : successeurs ( +), prédécesseurs ( -),...

4 Exemple boucle (arc (2, 2)) 2-graphe (2 arcs (5, 4)) + (1) = {2, 4} - (2) = {1, 2, 4}

5 Définitions (2) Demi-degré d'un noeud i : Extérieur + Intérieur Extérieur : nombre d'arcs ayant i comme extrémité intiale (cardinal de +(i)) Intérieur : ayant i comme extrémité finale Cocycle d'un ensemble A' d'arcs inclus dans A : + (A') + - (A') + : Ensemble des arcs ayant leur extrémité initiale dans A' et finale dans A \ A' - : Ensemble des arcs ayant leur extrémité finale dans A \ A' et initiale dans A'

6 Chaîne / Cycle (-> non orienté) Chaine : Sequence d'arètes telle que chaque arête de la séquence (sauf la 1ere et dernieer) ait une extrémité commune avec l'arête précédente et l'autre extrémité commune avec l'arête suivante Elémentaire : on ne passe pas deux fois par le même sommet Cycle : chaine dont les extrémités coïncident Cycle élémentaire : chaine élémentaire + minimal (pas d'autre cycle)

7 Chemin (dans un contexte orienté) Chaine dont tous les arcs sont orientés dans le même sens simple : ne comporte pas deux fois le même arc élémentaire : ne rencontre pas deux fois le même sommet élémentaire => simple mais pas l'inverse Réseau de transport : opérateur de base (sous contrainte) circuit : chemin dont les extrémités coïncident circuit élémentaire : sommets ont un degré égal à 2

8 Exemple a1 a2 a3 a4 a5 a6 Chaîne : (a1, a5, a6, a3, a2) (-> non élémentaire) Cycle : (a1, a5, a6, a4) (-> élémentaire) Chemin : (a1, a5, a7, a3) a1 a2 a3 a4 a6 a5 a7 (-> non élémentaire) Circuit : (a5, a7, a3)

9 Connexité Il existe une chaine joignant tout sommet i à tout sommet j -> Composante connexe -> nombre de connexité = 1 graphe connexe Application transport : -> notion d'arbre (réseau hydrolique) -> forte connexité (réseau de transport urbain, téléphone,...) Fortement connexe (orienté) : il existe un chemin de i à j et de j à i

10 Graphe planaire Admet une représentation sur un plan Sommet : PointAretes : courbes -> Deux courbes ne se rencontrent pas en dehors de leurs extrémités > Gestion des représentations schématiques

11 FERMETURE TRANSITIVE CONSTRUIRE UN NOUVEAU GRAPHE G* A PARTIR DE G : (i, j) Il existe un chemin de i à j dans G G G*

12 Représentations informatique Matrices : Matrice adjacence : 1-graphe, (booléenne ou valuée) Matrice d'incidence sommets-arcs (-1 -ext-, 0, 1 -orig-) ligne sommet, colonne : arc Listes : (matrices creuses) Listes des sommets successeurs / prédécesseurs Listes des arcs (cocycles)

13 Représentations informatique (2) Matrice : -> Que des problèmes - Espace mémoire important - Temps passé à faire des tests (complexité des algorithmes) - Pas de flexibilité - Pas de multi-graphe Listes -> Type abstrait avec primitives de manipulations - Flexibilité (insertion / suppression) - Emplacement mémoire raisonnable

14 Exemples Matrice d'adjacence non valuée / non orientée // valuée / orientée Matrice d'incidence sommets / arcs Liste des successeurs / prédécesseurs / voisins / sommets / arcs / arêtes Liste des cocycles orientés / non orientés => Problème passage d'une représentation à une autre

15 Exemple (2) Fonction de coût Numérotation des arcs

16 Booléenne 1-graphe, Non orienté 2 arcs => Matrice symétrique

17 Valuation => Fonction de coût Arc inexistant : 0 ou infini => problème de représentation

18 Sommets-arcs p-graphe, pas de boucle Colonne : arc, ligne : sommet, origine : + destination :

19 Successeurs Tableau : Nœud : tableau [1.. N+1] dindirections sur les successeurs ([1.. M+1]) Principe : idem pour les voisins (non orienté) mais symétrique => 2M + 1 ou pour les prédécesseurs X432342

20 Successeurs (version liste chaînée)

21 Orienté Valué Idem successeurs + valuation (liste chaînée : multi-graphe) X432342

22 Cocycle Idem liste des successeurs mais avec les arcs => p-graphes avec boucles X X653421

23 Passages Matrice d'incidence Liste des arcs / arêtes Liste des cocycles Liste des prédécesseurs Liste des successeurs Matrice d'adjacence O (MN) O(M) O(N ) O(MN) 2

24 Problèmatique Base de données Modélisation du graphe (1 ou plusieurs niveaux d'abstraction) Fonction d'étiquettage (noeud, arc) -> Le graphe ne tient pas en MC -> Opérateurs de manipulation - chemin - -> Passage des informations aux différents niveaux

25 Problèmes conventionnels Chemin eulérien : chemin qui emprunte une fois et une seule chaque arc Chemin hamiltonien : chemin qui emprunte une fois et une seule chaque sommet Stable : Sous-ensemble, S, de sommets d'un graphe tels que deux sommets de S ne sont pas adjacents ( ) Clique : Sous graphe complet

26 Problèmes conventionnels (2) Domaine de la recherche opérationnelle (parcours / contraintes) Bases de données déductives / documentaires Opérateurs de manipulation : Attention aux pb NP-Complet Bases de données spatiales (transports)


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