La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Théorie des graphes. Plan du cours 1.Que peut-on faire avec la théorie des graphes ? Concepts généraux en théorie des graphes 2. Le problème du plus court.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Théorie des graphes. Plan du cours 1.Que peut-on faire avec la théorie des graphes ? Concepts généraux en théorie des graphes 2. Le problème du plus court."— Transcription de la présentation:

1 Théorie des graphes

2 Plan du cours 1.Que peut-on faire avec la théorie des graphes ? Concepts généraux en théorie des graphes 2. Le problème du plus court chemin 3. Flots et réseaux de transport

3 3. Flots dans les réseaux PROBLEME DU FLOT MAXIMUM

4 Recherche de flots maximaux Objectif : Faire transiter la plus grande quantité (informations, marchandises, personnes) dune source vers une destination au sein dun réseau. Un réseau avec capacités R = (X,U,C) dordre n est un graphe orienté asymétrique* valué dans lequel : – -1 (x 1 ) = Øx 1 est le sommet entrée (source) – (x n ) = Øx n est le sommet sortie (destination) * (x i,x j ) U (x j,x i ) U (arc à sens unique) Notation : (x i,x j ) U : C(x i,x j ) = C ij capacité de larc (x i,x j )

5 Exemple de réseau avec capacités a d b e c [5] [4] [7] [2] [5] [2] [3] SortieEntrée

6 Définition du flot réalisable Un flot F sur un réseau avec capacités R = (X,U,C) est une valuation de lensemble des arcs U. Le flot correspond à la quantité qui transite sur le réseau. Notation : (x i,x j ) U : F(x i,x j ) = F ij flot sur larc (x i,x j ) Un flot F sur R = (X,U,C) est réalisable sil satisfait les contraintes de : 1.Capacité des arcs Le flot sur un arc ne dépasse pas la capacité de cet arc. 2.Conservation du flux (loi de Kirchhoff) La somme des flots entrant dans un sommet est égale à la somme des flots sortant de ce sommet.

7 Définition du flot maximal La valeur dun flot F sur R = (X,U,C) correspond à la quantité totale qui transite sur le réseau. La valeur du flot correspond à la somme des flots sortant de lentrée qui est égale à la somme des flots convergeant vers la sortie (conservation du flux). Un flot F sur R = (X,U,C) est maximal si F est un flot réalisable qui maximise la valeur du flot.

8 Connaissant les capacités des arcs d'un réseau de transport, le problème du flot maximum consiste à trouver quelle est la quantité maximum de flot qui peut circuler de la source à la destination. L'algorithme le plus connu pour résoudre ce problème est celui de Ford et Fulkerson. Nous verrons lapproche par cette méthode qui consiste à construire un graphe "d'écart" dans lequel on recherche un chemin.

9 Construction du graphe décart Un arc (x i,x j ) du réseau R = (X,U,C) est saturé par le flot F si : F ij = C ij (capacité maximale atteinte) Un arc (x i,x j ) du réseau R = (X,U,C) est antisaturé par F si : F ij = 0 (flot inexistant) A partir du réseau R = (X,U,C) et dun flot F, on peut construire le graphe décart G = (X,F(U),E) qui traduit les augmentations ou diminutions possibles du flot F dans le réseau. (x i,x j ) U : Si F ij < C ij (non saturé) alors (x i,x j ) F(U), E ij = C ij -F ij (augmentation) Si F ij > 0 (non antisaturé) alors (x j,x i ) F(U), E ji = F ij (diminution)

10 Exemple de graphe décart ad b c 4 [5] 2 [4] 5 [7] 2 [2] 3 [3] ad b c Réseau R = (X,U,C)Graphe décart G = (X,F(U),E) 4 5 2

11 Construction dun flot maximal Algorithme de Ford-Fulkerson Initialisation du flot F : F ij = 0 (arcs antisaturés) Fin = FAUX Tant que NON Fin Construction du graphe décart G = (X,F(U),E) Recherche dun chemin C dans G depuis lentrée vers la sortie Si C existe Alors Calcul de laugmentation Affectation de laugmentation Sinon Fin = VRAI

12 ALGORITHME DE FORD-FULKERSON, GRAPHE D'ECART on part d'un flot compatible. Ensuite, on construit un graphe d'écart à partir de ce flot. Ce graphe d'écart représente les modifications de flot possibles sur chaque arc. Sur ce graphe, les noeuds ont exactement la même signification que dans le réseau de transport. Par contre, un arc indiquera de combien il est possible d'augmenter le flot entre deux noeuds. Ainsi, pour un arc u = (x;y), on créera dans le graphe d'écart: un arc de x à y de capacité c'((x;y)) = c(u) - f(u) si c(u) > f(u), un arc de y à x de capacité c'((y;x)) = f(u) si f(u)> 0. Ensuite, dans ce graphe d'écart, on cherchera un chemin de lentrée à la sortie. Si on n'en trouve pas, le problème est résolu. Sinon, on augmente le flot sur ce chemin. Le flot sera augmenté de la plus petite capacité des arcs du chemin. Autrement dit, le chemin C sera augmenté de: min{c'(u) | u étant sur le chemin C}

13 Exemple : réseau et graphe décart correspondant

14 (A,B,C,D,F,G) est un chemin pour aller de A à G. On peut augmenter le flot de: 2 entre A et B, 3 entre B et C,1 entre C et D,4 entre D et F, 2 entre F et G. On augmentera donc le flot de 1 sur ce chemin, ce qui signifie: augmenter de 1 entre A et B,réduire de 1 entre C et B,augmenter de 1 entre C et D,augmenter de 1 entre D et F,augmenter de 1 entre F et G.

15 3. Flots dans les réseaux Flot dans un réseau de transport On veut acheminer un produit à partir de 3 entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d) –Quantités en stock : 45, 25, 25 –Demande des clients : 30,10, 20, 30 –Limitations en matière de transport dun entrepôt à un client abcd E a b d c S [0,10] [0,15] [0,20] [0,5] [0,10] [0,45] [0,25] [0,30] [0,10] [0,20] [0,30]

16 3. Flots dans les réseaux Exemple de flot E a b d c S [0,10], 10 [0,15], 5 [0,20], 20 [0,20], 15 [0,5], 5 [0,10], 10 [0,45], 35 [0,25], 25 [0,25], 20 [0,30], 25 [0,10], 10 [0,20], 15 [0,30], 30 Valeur du flot = 80 Ce flot est un flot complet, c-à-d, tout chemin de E à S comporte au moins un arc saturé

17 3. Flots dans les réseaux Problèmes 1.Détermination dun flot réalisable ou compatible 2.Détermination dun flot maximum

18 3. Flots dans les réseaux Détermination dun flot maximum Principe de lalgorithme de Ford-Fulkerson 1.Construire un flot complet 2.Améliorer itérativement ce flot 1.Construire un flot complet –Examiner tous les chemins de E à S de façon systématique –Pour chaque chemin faire passer un flot égal à la capacité résiduelle minimale de ce chemin


Télécharger ppt "Théorie des graphes. Plan du cours 1.Que peut-on faire avec la théorie des graphes ? Concepts généraux en théorie des graphes 2. Le problème du plus court."

Présentations similaires


Annonces Google