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1 La Méthode de Simplexe Standardisation Procédure algébrique de la méthode de simplexe Méthode des Tableaux –Tableau initial de simplexe –Passage entre.

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1 1 La Méthode de Simplexe Standardisation Procédure algébrique de la méthode de simplexe Méthode des Tableaux –Tableau initial de simplexe –Passage entre les tableau (variable entrante, variable sortante et élément de pivot) – Règle darrêt

2 2 Introduction Historique de la méthode de simplexe Le problème de lagriculteur :

3 3 Mise sous forme standard Introduire des variables supplémentaires (une pour chaque contrainte) de manière a réécrire les inégalités ( et ) sous la forme d'égalités. Max100x x 2 (1) s. c x 1 + x 2 + S 1 = 150(2) 4x 1 + 2x 2 + S 2 = 440(3) x 1 + 4x 2 + S 3 = 480(4) x 1 + S 4 = 90(5) x 1, x2, S 1, S 2, S 3, S 4 0(6) Remarque: Les valeurs du second membre des contraintes (les composants du vecteur b) sont positives

4 4 Revue algébrique de la méthode du simplexe Il y a plus de variables que de contraintes donc il y a un nombre infini de solutions de ce système déquations Ces solutions doivent en plus satisfaire les contraintes de nonnégativité. On doit être en mesure de choisir parmi les solutions réalisables extrémaux celles qui maximisent la fonction objectif.

5 5 Revue algébrique de la méthode du simplexe Si un système d équations linéaire constitué de n variables et m équations (n m) alors une solution extrême (dite aussi de base) est obtenue, en annulant (n-m) variables (hors base) et en résolvant les m équations pour déterminer les valeurs des autres m variables (de base). x 2 = 0 et S 1 = 0 x 1 = 150 S 2 = 340 S 3 = -120 S 4 = -60 Solution extrême non réalisable Variables hors base Variables de base

6 6 Revue algébrique de la méthode du simplexe x 1 = 0 et x 2 = 0 S 1 = 150 S 2 = 440 S 3 = 480 S 4 = 90 la méthode de simplexe est une procédure itérative qui, ayant trouvé une solution réalisable de base (lorigine O), passe dune solution réalisable de base à une autre, par des transformation linéaire sur le système des contraintes sous leurs forme standard, jusquà atteindre la solution optimale.

7 7 Méthode des tableaux Tableau de simplexe initial

8 8 Exercice: Quelle est le programme linéaire décrit par le tableau de simplexe suivant

9 9 Amélioration de la solution Si on produit un hectare supplémentaire de x 1, la valeur de quelques variables de base vont changer vu quon a : x 1 + S 1 = 150 4x 1 + S 2 = 440 x 1 + S 3 = 480 x 1 + S 4 = 90 Donc, une augmentation de x 1 de 0 vers 1 va être accompagnée d'une diminution des variables de base S 1, S 2, S 3, S 4 respectivement de 1, 4, 1 et 1. Leffet de cette variation (noté z 1 ) sur la fonction objectif est nul.

10 10 Amélioration de la solution avec

11 11 Amélioration de la solution Laugmentation de la valeur de la variable entrante x 2 ne peut pas se faire infiniment, sous lhypothèse que x 1 reste nulle. On a x 1 + S 1 = 150 2x 2 + S 2 = 440 4x 2 + S 3 = 480 x 4 + S 2 = 90 On peut voir que x 2 peut prendre comme valeur maximale la valeur de 120 (il ne faut pas oublier que les S i, i=1, 2, 3, 4 sont des variables positives). Cette valeur est obtenue en choisissant la plus petite valeur positive des divisions de 120/1, 440/2, 480/4 et 90/0 (on suppose que 90/0 est égale à linfini ).

12 12 Amélioration de la solution Le fait daugmenter x 2 jusquà la valeur 120 va engendrer lannulation de la valeur du variable décart S 3, ce qui élimine S 3 de la base. On appelle S 3 variable sortante. Le pivot

13 13 Calcul des tableaux suivants Dans le nouveau tableau de simplexe on va remplacer S 3 par x 2 et lensemble des variables de base deviendra S 1, S 2, x 2, S 4.

14 14 Calcul des tableaux suivants 1. Diviser le ligne de pivot par la valeur de lélément de pivot pour trouver la ligne transformée de la ligne de pivot.

15 15 Calcul des tableaux suivants 2. A chacune des variables de base, on associe la valeur 1 à lintersection de la ligne et de la colonne relative à cette même variable et dans le reste de la colonne on trouve des zéros.

16 16 3.

17 17 Calcul des tableaux suivants En appliquant cette règle sur notre exemple, on trouve le tableau suivant :

18 18 Calcul des tableaux suivants Vérifier que lensemble des solutions réalisables, induit par les contraintes décrites dans le dernier tableau de simplexe, est le même que celui représenté par les contraintes initiales. Quelle est la nouvelle solution réalisable de base ?

19 19 Calcul des tableaux suivants Est-t-il possible de retrouver une solution réalisable de base meilleure ?

20 20 Calcul des tableaux suivants

21 21 Calcul des tableaux suivants la solution optimale dun programme linéaire (de type maximisation) est atteinte sil ny a aucune valeur positive dans la ligne c j -z j du tableau du simplexe.

22 22 Résumé de la méthode de simplexe

23 23 Résumé de la méthode de simplexe

24 24 Exemple Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant la méthode de simplexe. Max 3x 1 + 2x 2 s.c. - x 1 + 2x 2 4 3x 1 + 2x 2 14 x 1 + x 2 3 x 1 0 x 2 0 La forme standard du programme linéaire s'écrit comme suit : Max 3x 1 + 2x 2 s.c. - x 1 + 2x 2 + S 1 = 4 3x 1 + 2x 2 + S 2 = 4 x 1 - x 2 + S 3 = 3 x 1 0, x 2 0, S 1 0, S 2 0, S 3 0

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