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La méthode du simplexe. 1) Algorithme du simplexe Cet algorithme permet de déterminer la solution optimale, si elle existe, dun problème de programmation.

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1 La méthode du simplexe

2 1) Algorithme du simplexe Cet algorithme permet de déterminer la solution optimale, si elle existe, dun problème de programmation linéaire à n variables. Le principe de la méthode est de transformer les contraintes qui sont des inéquations en équations en ajoutant des variables positives que lon appelle variables décart. Puis on transforme ce système déquations linéaires jusquà trouver la solution optimale.

3 2) Les étapes de la méthode Première étape : La formulation mathématique du problème Deuxième étape : Mise sous forme standard du problème Troisième étape : Application de lalgorithme du simplexe

4 3) La formulation mathématique du problème (1) A partir de lénoncé du problème qui est donné en langage naturel, il faut obtenir sa formulation mathématique. Cest la phase de modélisation. Il faut déterminer et décrire avec précision les variables du problème (unités et périodes de temps de lobservation). Il faut déterminer et classer les contraintes en vérifiant lhomogénéité des unités.

5 3) La formulation mathématique du problème (2) Il faut déterminer la fonction économique (ou objectif) et donner le type doptimisation recherchée (maximum ou minimum) Les contraintes et la fonction économique doivent être linéaires par rapport aux variables du problème sinon lalgorithme du simplexe nest pas applicable.

6 4) Mise sous forme standard du problème Un problème de programmation linéaire est dit sous forme standard sil vérifie les conditions suivantes : Les variables du problème doivent toutes être positives. Le type doptimisation doit être une recherche de maximum. Les contraintes sont des contraintes dégalité.

7 4-a) Transformation des variables Si une variable x est négative, on pose y = -x. La nouvelle variable y est positive et les contraintes et la fonction économique restent bien linéaires après avoir remplacé lancienne variable x par – y.

8 4-a) Transformation des variables Si une variable x est de signe quelconque, on pose x = x1-x2 où x1 et x2 sont deux nouvelles variables positives. Les contraintes et la fonction économique restent bien linéaires après avoir remplacé lancienne variable x par x1-x2.

9 4-a) Transformation des variables Si le type doptimisation est une recherche de minimum pour la fonction économique Z, on procède à un changement de fonction économique en considérant –Z (qui est toujours une fonction linéaire des variables). On a la propriété min(Z) = - Max(-Z).

10 4-b) Transformation des inégalités en égalités Pour cela, il faut ajouter des variables dites variables décart qui doivent être également positives. On suppose quinitialement les variables sont : x1, x2, …, xn

11 Cas dune contrainte de type ou Au départ on a la contrainte : a1x1 + a2x2 + …. + anxn b On ajoute une variable décart e positive, la contrainte devient : a1x1 + a2x2 + …. + anxn + e = b Les nouvelles variables sont : x1, x2, …, xn, e

12 Cas dune contrainte de type ou Au départ on a la contrainte : a1x1 + a2x2 + …. + anxn b On retranche une variable décart e positive, la contrainte devient : a1x1 + a2x2 + …. + anxn - e = b Les nouvelles variables sont : x1, x2, …, xn, e

13 Exemple Forme canonique du programme linéaire : 2x+y 800 x+2y 700 y 300 x 0, y 0 Fonction économique à maximiser : Z = 30000x y

14 Forme standard Le problème est mis sous forme standard en ajoutant trois variables décart positives, e1, e2, e3. 2x+y+e1 = 800 x+2y+e2 = 700 y+e3 = 300 x 0, y 0, e1 0, e2 0, e3 0 Max(30000x+40000y)

15 Tableau du simplexe Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e e e Z

16 Variables en base et hors-base On distinguera les variables dites « en base » et les variables dites « hors base ». Les variables hors base ont toujours une valeur nulle, les variables en base sont celles pour lesquelles ne figurent quun seul 1 sur leur colonne, les autres coefficients sont nuls sur la colonne. Au départ Base={ e1, e2, e3} HorsBase={ x,y} Les coefficients de la fonction économique sont appelés taux marginaux de substitution (ou TMS). Ici et

17 Remarque 1 Si la fonction économique a dans son expression un coefficient constant, il faut le faire figurer dans lavant-dernière colonne (celle des seconds membres) avec le signe opposé. Cest dans cette même cellule que lon trouvera lopposé de la valeur de la fonction économique pour la solution en cours et donc lopposé de loptimum quand il sera atteint.

18 Remarque 2 On remarque, dans le tableau initial, que pour chaque variable en base on a un seul un sur la colonne et les autres coefficients sont nuls. A chaque étape, le tableau devra répondre à cette exigence.

19 Constitution du tableau Quand le problème est mis sous forme standard, on peut appliquer lalgorithme du simplexe. Les différentes équations linéaires sont placées dans un tableau. Chaque équation est une ligne du tableau, la dernière ligne est réservée pour la fonction économique. Les colonnes correspondent aux variables du problème. A droite du tableau lavant dernière colonne contient les seconds membres des équations. La dernière colonne contient ce que lon appelle les ratios qui seront expliqués plus loin.

20 Les calculs qui sont effectués sont des calculs de combinaisons linéaires sur les lignes du tableau. On suppose comme cela est signalé dans la remarque ci-dessus que toutes les variables décart ont un coefficient 1. On recherche un maximum de la fonction économique. 5) Application de lalgorithme du simplexe

21 Départ de lalgorithme Au départ, on a une solution réalisable du problème en considérant que les variables décart sont égales aux seconds membres et que les autres variables sont nulles. Cette solution respecte bien les contraintes de positivité et les égalités sont satisfaites

22 Principe de lalgorithme A chaque étape de lalgorithme, on choisit une variable hors base que lon appelle variable entrante et une variable en base que lon appelle variable sortante afin daméliorer la solution précédente. Puis on transforme le tableau pour le remettre sous sa forme standard. En effet, les colonnes des variables en base ne doivent avoir qu un seul 1 et des 0 ailleurs. Cette transformation se fait par combinaison linéaire des lignes.

23 Choix de la variable entrante On choisit celle dont le TMS est strictement positif et le plus grand possible. Si tous les TMS sont négatifs ou nuls, loptimum est atteint. Lalgorithme sarrête

24 Choix de la variable sortante Après avoir choisi la variable entrante, on calcule pour chaque ligne représentant une contrainte, le ratio qui est le rapport entre le coefficient du deuxième membre de la contrainte et le coefficient sur la colonne de la variable entrante. Ce ratio peut être infini si le coefficient est nul. La variable sortante est celle dont le ratio est le plus petit strictement positif.

25 Transformation du tableau Après choix de la variable entrante et de la variable sortante, on transforme le tableau. Lintersection de la colonne de la variable entrante et de la ligne de la variable sortante sappelle le pivot. Il faut transformer le tableau par combinaisons linéaires sur les lignes pour faire apparaître un 1 sur le pivot et des 0 ailleurs sur la colonne de la nouvelle variable en base.

26 Fin de lalgorithme Loptimum est atteint lorsque tous les TMS sont négatifs. Les variables hors base sont nulles. Les valeurs des variables en base se lisent directement sur le tableau puisque leur coefficient est 1 et que les autres variables qui ont un coefficient non nuls sur la même ligne sont hors base. La valeur de loptimum est lopposé de la valeur qui figure sur la ligne de la fonction économique à lavant dernière colonne. On vérifiera cette valeur en remplaçant les valeurs des variables dans la fonction économique.

27 Méthode appliquée à lexemple B ase xye1e2e3 2 ème membre Ratio e e e Z A ce stade les variables en base sont e1, e2 et e3. On remarque que pour chaque variable en base on a un seul 1 sur la colonne et que les autres coefficients sont nuls. Base={e1, e2, e3} Les variables hors base sont x et y. HorsBase={x, y}

28 Remarques sur le tableau initial On admettra quà chaque étape, les variables hors base sont nulles. Les variables en base se calculent dans le tableau en tenant compte du fait que les variables hors base sont nulles. Avec ce tableau initial, on a une solution intermédiaire (au départ) : x=0 et y=0 (car ces variables sont hors base) e1=800, e2=700, e3=300. En effet, chaque ligne du tableau correspond à une égalité.

29 Remarques sur le tableau initial La valeur de Z est lopposé de la case 2ème membre de la ligne de Z. On peut la recalculer, par vérification, avec la formule Z=40000x+30000y. Initialement on a donc : Z=0 (puisque x et y sont nuls) On nest pas à loptimum car les TMS (Taux Marginaux de Substitution : coefficients de Z) ne sont pas tous négatifs ou nuls.

30 Variable entrante B ase xye1e2e3 2 ème membre Ratio e e e Z Variable entrante = Celle qui correspond au plus grand TMS strictement positif (taux marginal de substitution) coefficient >0 de la fonction objectif. Ici y est la variable entrante.

31 Calcul des ratios B ase xye1e2e3 2 ème membre Ratio e /1 e /2 e /1 Z On calcule les ratios en divisant pour chaque variable de la base (pour chaque ligne), le coefficient du second membre par le coefficient de la colonne de la variable entrante.

32 Variable sortante B ase xye1e2e3 2 ème membre Ratio e /1 e /2 e /1 Z Variable sortante = Celle correspondant au plus petit ratio strictement positif (coefficient du 2ème membre/coefficient colonne de la variable entrante). Ici e3 est la variable sortante.

33 Transformation du tableau Pivot = intersection variable entrante et sortante Dans la colonne du pivot : Il faut mettre un 1 à la place du pivot et un 0 ailleurs. En effet, il sagit de la nouvelle variable en base.

34 Faire apparaître un 1 sur le pivot Si le pivot nest pas égal à 1, il faut diviser toute la ligne par le pivot. Ici le pivot est déjà à 1.

35 Faire apparaître des 0 sur le reste de la colonne de la nouvelle variable en base Il faut retrancher à chaque ligne un certain nombre de fois la ligne du pivot pour faire apparaître un 0. Basexye1e2e3 2 ème membre Ratio e /1 e /2 e /1 Z pivot Pour la ligne de e1, il faut lui retrancher la ligne du pivot. On remplace la ligne L1 par L1-L3

36 Autres transformations Pour la ligne de e2, il faut lui retrancher deux fois la ligne du pivot.. On remplace L2 par L2-2L3 Pour la ligne de Z, il faut lui retrancher fois la ligne du pivot.. On remplace L4 par L4 – 40000L3

37 Tableau 2 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e e y Z Loptimum nest pas atteint (1 TMS est >0)

38 Variable entrante, ratios et variable sortante du tableau 2 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e /2=2 50 e /1=1 00 y /0= Z Variable entrante x et sortante e2

39 Transformations sur le tableau 2 Le pivot est déjà à 1. Il faut remplacer L1 par L1 - 2*L2 L3 ne doit pas être changée (il y a déjà un 0) L4 doit être remplacée par L4 – 30000*L2

40 Tableau 3 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e x y Z Loptimum nest pas atteint (1 TMS est >0)

41 Variable entrante, ratios et variable sortante du tableau 3 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e =300/3=1 00 x =-100/2=- 50 y =300/1=3 00 Z Variable entrante e3 et sortante e1

42 Etape 1: Division du pivot par 3 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e1001/3-2/31300/3=100 x y Z

43 Etape 2: Apparition des 0 sur le reste de la colonne Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e1001/3-2/31300/3=100 x y Z Il faut remplacer L2 par L2 + 2*L1, L3 par L3-L1 et L4 par L *L1

44 Tableau 4 Variables en base xye1e2e3 2 ème membre Ratio e1001/3-2/31100 x102/3-1/30300 y01-1/32/30200 Z / / Loptimum est atteint (Tous les TMS sont négatifs)

45 Résultats Optimum : X=300 Y=200 Vérification : Z=30000X Y=30000* *200=


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