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Résolution dun programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices dapplication.

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1 Résolution dun programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices dapplication

2 PROGRAMME LINÉAIRE FONCTION OBJECTIF FONCTION OBJECTIF Maximiser ou minimiser z = c 1 x 1 +… + c n x n Maximiser ou minimiser z = c 1 x 1 +… + c n x n Contraintes Contraintes a 11 x 1 + … + a 1n x n (, =, ) b 1 a 11 x 1 + … + a 1n x n (, =, ) b 1 a 21 x 1 + … + a 2n x n (, =, ) b 2 a 21 x 1 + … + a 2n x n (, =, ) b 2 a m1 x 1 +… + a mn x n (, =, ) b m a m1 x 1 +… + a mn x n (, =, ) b m Contraintes de non-négativité Contraintes de non-négativité x j 0 ; j = 1, 2, 3, … n x j 0 ; j = 1, 2, 3, … n avec avec x j variables de décision (inconnues) x j variables de décision (inconnues) a ij, b i, c j paramètres du programme linéaire a ij, b i, c j paramètres du programme linéaire

3 Méthode Graphique Valable si 2 variables de décision seulement. Valable si 2 variables de décision seulement. Le nombre de contraintes est quelconque. Le nombre de contraintes est quelconque. Repose sur une représentation des contraintes dans un plan. Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.

4 Contrainte =inégalité à 2 variables a 1 x 1 + a 2 x 2 0, a 1 >0, a 2 > 0 a 1 x 1 + a 2 x 2 0, a 1 >0, a 2 > 0 x1x1x1x1 x2x2x2x2 b/a 1 b/a 2 <= b > b Demi-espaceadmissible

5 Maximisation sous contraintes x1x1x1x1 x2x2x2x2 Zone réalisable Fonction objectif

6 x1x1x1x1 x2x2x2x2 loptimum est un des points extrêmes loptimum est un des points extrêmes

7 Exemple 1 Maximisation du profit Maximisation du profit Contrainte de rareté dune ressource Contrainte de rareté dune ressource Contraintes de demande Contraintes de demande

8 Solution graphique de lexemple Solutionoptimale xBxBxBxB xCxCxCxC x B = 6000 x C = 1400 P SR

9 Exemple 2 MAXIMISER z = 3 x x 2 MAXIMISER z = 3 x x 2 Contraintes : Contraintes : x 1 4 x x x x x x x 2 18 x 1 0 ; x 2 0 x 1 0 ; x 2 0

10 ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décision SR SR x2x2 x1x1 0

11 FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à lintérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum x2x2 x1x1 0 Solution optimale x 1 = 2 x 2 = 6 Max Z = 36 (2,6)

12 Exemple 3 Maximiser Z = x 1 + 2x 2 Maximiser Z = x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 -x 1 + x 2 4 -x 1 + x 2 4 x 1 5 x 1 5 x 1 0, x 2 0

13 Exemple 3 (suite) x2x2 x1x1 0 2x 1 + x 2 = 4 x 1 = 5 x 1 + x 2 = 8 -x 1 + x 2 = 4 SR X 1 = 2 X 2 = 6 Z = 14

14 Exemple de MINIMISATION Minimiser Minimiser Z = x 1 – x 2 Sachant que : ½ x 1 + x 2 8 -x 1 + 8x x 1 + 8x 2 40 x 1 8 x 1 8 x 2 8 x 2 8 x 1 0, x 2 0

15 PROBLÈME DE MINIMISATION x2x2 x1x1 0 x 1 = 8 -x 1 + 8x 2 = 40 ½x 1 + x 2 = 8 X 1 = 8 X 2 = 6 Min Z = x 2 = 8 20 SR

16 Cas possibles La zone SR peut être : Vide: Contraintes contradictoires Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) (pas de solution optimale) borné : le problème possède toujours au moins une solution optimale borné : le problème possède toujours au moins une solution optimale non borné : selon la fonction objectif non borné : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finie Si MIN : il y a une solution finie Si MAX : Solution non bornée Si MAX : Solution non bornée

17 Le nombre de solutions optimales ? Le nombre de solutions optimales ? - Une seule. - Une infinité : si deux sommêts réalisent loptimum (tout le segment reliant les deux sommêts optimaux)

18 Méthode du simplexe Méthode algébrique Méthode algébrique Méthode itérative Méthode itérative

19 Etapes Forme standard du PL Forme standard du PL Tableau de départ du simplexe Tableau de départ du simplexe Application de lalgorithme du simplexe Application de lalgorithme du simplexe

20 Forme standard dun PL Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 300 x1 300 x2 400 x2 400 x1 + x2 500 x1 + x x1 + x x1 + x2 700 x1 0 x1 0 x2 0 x2 0

21 Inégalités égalités x1 300 x1 + e1 = 300 x1 300 x1 + e1 = 300 x2 400 x2 + e2 = 400 x2 400 x2 + e2 = 400 x1 + x2 500 x1 + x2 + e3 = 500 x1 + x2 500 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x x1 + x2 + e4 = 700 2x1 + x x1 + x2 + e4 = 700 ei = Variable décart. ei = Variable décart.

22 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 + e1 =300 x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 2x1 + x2 + e4 = 700 x1 0 ; x2 0 x1 0 ; x2 0 ei 0 ei 0

23

24 Tableau de départ du simplexe T1x1x2e1e2e3e4b e e e e Z

25 Changement de variable

26 Deuxième tableau

27 Changement de variable

28 Troisième tableau

29 Changement de variable

30 Quatrième tableau

31 Solution optimale En base : x1 = 200 x1 = 200 e2 = 100 e2 = 100 e1 = 100 e1 = 100 x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900


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