La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

5. Algorithme du simplexe avec variables bornées.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "5. Algorithme du simplexe avec variables bornées."— Transcription de la présentation:

1 5. Algorithme du simplexe avec variables bornées

2 Variante du simplexe pour problème avec variables bornées Considérons le problème de programmation linéaire avec variables bornées suivant Ramenons à 0 les bornes inférieures en faisant le changement de variables suivant x j = g j – l j (i.e., g j = x j + l j )

3 Variante du simplexe pour problème avec variables bornées le problème devient Ramenons à 0 les bornes inférieures en faisant le changement de variables suivant x j = g j – l j (i.e., g j = x j + l j )

4 Variante du simplexe pour problème avec variables bornées le problème devient et en remplaçant: u j = q j – l j et b = h – Al

5 Dans ce problème puisque c T l représente une constante, nous pouvons la sortir de la minimisation sans changer la solution optimale et dans la suite de la présentation considérer le problème sans cette constante sans perte de généralité. Variante du simplexe pour problème avec variables bornées

6 Considérons la formulation explicite du problème Une façon de le résoudre est de le ramener sous une forme standard en introduisant des variables décart y j, et densuite utiliser lalgorithme du simplexe

7

8 Considérons une solution de base réalisable de ce problème. La présence des contraintes x j + y j = u j implique quau moins une des deux variables x j ou y j est variable de base, j = 1,2,…,n. Donc une des trois situations suivantes prévaut pour chaque j = 1,2,…,n: a) x j = u j est variable de base et y j = 0 est variable hors base b) x j = 0 est variable hors base et y j = u j est variable de base c) 0 < x j < u j est variable de base et 0 < y j < u j est variable de base Non dégénérescence: toutes les variables de base sont positives à chaque itération

9 m + n variables de base requises il y a n variables y j Il y a au moins m variables x j dans la base Exactement m variables x j satisfont 0 < x j < u j. Par contradiction, si m 0 m variables x j satisfaisaient la relation, alors les m 0 variables y j correspondantes seraient également dans la base. De plus, pour les n – m 0 autres indices j x j = u j (cas a) ou bien y j = u j (cas b) serait vérifié. Alors le nombre de variables de base serait égal à 2m 0 + (n – m 0 ) = m 0 + n m + n

10 La base a donc la forme suivante 0 < x j < u j 0 < y j < u j xj=ujxj=uj yj=ujyj=uj

11 La base a donc la forme suivante 0 < x j < u j 0 < y j < u j xj=ujxj=uj yj=ujyj=uj

12

13 La base a donc la forme suivante m n 0 < x j < u j 0 < y j < u j xj=ujxj=uj yj=ujyj=uj Base de A Les colonnes de la base B de A correspondent aux variables 0

14 Ainsi, nous pouvons développer une variante du simplexe pour résoudre directement le problème en traitant implicitement les bornes supérieures u j. À chaque itération, nous allons considérer une solution (de base) associée à une base B de A ayant m variables de base n – m variables hors base

15 À chaque itération, nous allons considérer une solution (de base) associée à une base B de A ayant m variables de base n – m variables hors base. Si on dénote les indices des variables de base IB = {j 1, j 2, …, j m } où j i est lindice de la variable de base dans la i ième ligne, alors Nous retrouvons les mêmes expressions que pour les problèmes sans bornes sauf que les variables hors base

16 Il suffit dajuster les critères dentrée et de sortie en conséquence pour retrouver la variante du simplexe. Nous retrouvons les mêmes expressions que pour les problèmes sans bornes sauf que les variables hors base

17 Étape 1: Choix de la variable dentrée Le critère pour choisir la variable dentrée est modifié pour tenir compte des variables hors base x j à leur borne supérieure u j qui peuvent diminuer. Ainsi, pour un indice si, il est avantageux daugmenter x j si, il est avantageux de diminuer x j Déterminons et Soit Si, alors la solution est optimale et lalgorithme sarrête. Si, alors la variable x s augmente; aller à létape 2.1. Si, alors la variable x s diminue; aller à létape 2.2

18 Étape 2.1: Choix de la variable de sortie Laugmentation θ de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne sup. u s ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si θ =, alors le problème nest pas borné inférieurement et lalgorithme sarrête. la valeur de la variable de base

19 Étape 2.1: Choix de la variable de sortie Laugmentation θ de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne sup. u s ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si θ = u s, alors lensemble des variables de base reste le même et la même base est utilisée à la prochaine itération. La variable x s demeure hors base et sa valeur passe de 0 à u s. Retourner à létape 1. la valeur de la variable de base

20 Étape 2.1: Choix de la variable de sortie Laugmentation θ de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne sup. u s ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si alors la valeur de la variable dentrée x s augmente à θ. La variable dentrée x s devient variable de base à la place de la variable de sortie qui devient égale à 0. Pivoter sur et retourner à létape 1 la valeur de la variable de base

21 Étape 2.1: Choix de la variable de sortie Laugmentation θ de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne sup. u s ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si alors la valeur de la variable dentrée x s augmente à θ. La variable dentrée x s devient variable de base à la place de la variable de sortie qui devient égale à. Pivoter sur et retourner à létape 1 la valeur de la variable de base

22 Étape 1: Choix de la variable dentrée Le critère pour choisir la variable dentrée est modifié pour tenir compte des variables hors base x j à leur borne supérieure u j qui peuvent diminuer. Ainsi, pour un indice si, il est avantageux daugmenter x j si, il est avantageux de diminuer x j Déterminons et Soit Si, alors la solution est optimale et lalgorithme sarrête. Si, alors la variable x s augmente; aller à létape 2.1. Si, alors la variable x s diminue; aller à létape 2.2

23 Étape 2.2: Choix de la variable de sortie La réduction θ de la valeur de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne inf. 0 ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si θ = u s, alors lensemble des variables de base reste le même et la même base est utilisée à la prochaine itération. La variable x s demeure hors base et sa valeur passe de u s à 0. Retourner à létape 1. la valeur de la variable de base

24 Étape 2.2: Choix de la variable de sortie La réduction θ de la valeur de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne inf. 0 ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si alors la valeur de la variable dentrée x s est réduite de θ (i.e., x s u s – θ). La variable dentrée x s devient variable de base à la place de la variable de sortie qui devient égale à 0. Pivoter sur et retourner à létape 1 la valeur de la variable de base

25 Étape 2.2: Choix de la variable de sortie La réduction θ de la valeur de la variable dentrée x s est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit: i) x s atteint sa borne inf. 0 ii) une variable de base décroît à 0 (dans ce cas ) iii) une variable de base augmente pour atteindre sa borne sup. (dans ce cas ) Soit Si alors la valeur de la variable dentrée x s et réduite de θ (i.e., x s u s – θ). La variable dentrée x s devient variable de base à la place de la variable de sortie qui devient égale à. Pivoter sur et retourner à létape 1 la valeur de la variable de base

26 Références M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, H.D. Sherali, Linear Programming and Network Flows, 3rd edition, Wiley-Interscience (2005), p217 F.S. Hillier, G.J. Lieberman, Introduction to Operations Research, Mc Graw Hill (2005), Section 7.3 D. G. Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, 2nd edition, Addison-Wesley (1984), Section 3.6


Télécharger ppt "5. Algorithme du simplexe avec variables bornées."

Présentations similaires


Annonces Google