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Chapitre II.Rappels mathématiques et complexité Outils mathématiques - Notations asymptotiques - Séries - Dénombrements - Equations de récurrence.

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1 Chapitre II.Rappels mathématiques et complexité Outils mathématiques - Notations asymptotiques - Séries - Dénombrements - Equations de récurrence

2 Comparaisons de complexités Comparer sur un ensemble des données très grand; « Ordre de grandeur », « Comportement asymptotique »

3 Notation asymptotique Pour caractériser le comportement asymptotique en terme de complexité dun algorithme on utilisera les fonctions dont le domaine est N Notations :

4 Notation Pour une fonction donnée g(n), on note Lensemble de fonctions: Lécriture simplifiée : g(n) sappelle borne approchée asymptotique pour f(n) Chaque fonction utilisée à lintérieur de la notation doit être positive asymptotiquement

5 Exemples en (1)

6 Exemples en (2)

7 Exemples en (3) Considérons la partie gauche de cette inégalité la partie gauche de cette inégalité est

8 Notation Pour une fonction donnée g(n), on note Lensemble de fonctions: Lécriture simplifiée : g(n) sappelle borne asymptotique supérieure pour f(n) Remarque 1: implique Remarque 2: et On dit que g et f ont un même ordre de grandeur asymptotique

9 Notation Pour une fonction donnée g(n), on note Lensemble de fonctions: La notation fournit une borne asymptotique inférieure Théorème: pour deux fonctions quelconques et, si et seulement si et

10 Notations asymptotiques pour les bornes non-approchées La borne supérieure nest pas asymptotiquement approchée La borne inférieure nest pas asymptotiquement approchée

11 Notations asymptotiques Notation définition exemple

12 Critères pour comparer les fonctions Soit f(n) et g(n) deux fonctions asymptotiquement positives

13 Notations standard et fonctions classiques (1) (1) Polynômes On dit quune fonction f(n) a une borne polynomiale si, ce qui équivaut à dire que Complexité quadratique : Complexité linéaire :

14 Notations standard et fonctions classiques (2) Exponentielles - par convention Comparaison des vitesses de croissance des polynômes et des exponentielles Ou Cas particulier (rappel, réelles) :

15 Notations standard et fonctions classiques (3) Logarithmes - log binaire - log naturel Pour tout réel etc.. Comparaison des vitesses de croissance ou illustration graphique Complexité logarithmique

16 Séries (1)

17 Séries(2)

18 Dénombrements(1)

19 Dénombrements(2)

20 Dénombrements(3)

21 Dénombrements(4)

22 Dénombrements(5)

23 Equations de récurrences Souvent pour évaluer le temps dexécution dun algorithme sur des données de taille n, on décompose le problème en sous-problèmes sur des données de tailles plus petites et on exprime T(n) en fonction de divers T(p) avec p

24 Les récurrences des partitions On se limitera à ce type de récurrences. Considérons lalgorithme de tri par fusion dun tableau Principe 1. Diviser la séquence de n éléments à trier en deux sous- séquences de taille n/2 éléments 2. Trier les deux sous-séquences récursivement à laide de tri par fusion 3. Fusionner les deux sous-séquences triées pour produire la réponse triée. Condition de sortie de récursion – une séquence dun élément est déjà triée.

25 Algorithme de tri par fusion(1) Supposons que nous avons à notre disposition une procédure Fusionner(A,p,q,r). Elle fusionne deux séquences ordonnées A[p],…,A[q] et A[q+1],…, A[r]. Exemple A : , p=1, q=4, r=8 A trié : Complexité de « Fusionner » est

26 Algorithme de tri par fusion (2) Procédure Tri-Fusion(val A,p,r) Var q:entier Début Si p

27 Complexité Temps dexécution dans le pire des cas

28 Résolution de récurrence (1) (1) Par substitution : substituer la solution pressentie à la fonction et appliquer linduction mathématique. Considérons On suppose que Démontrer que

29 Résolution de récurrence (2) On suppose la validité pour En substituant dans léquation de récurrence pour c>1 on majore par donc Il est maintenant nécessaire de vérifier pour les premiers n ( pour n=1 – faux), mais on doit choisir n>n 0, (n=2,3..)- choisir c suffisamment grande

30 Résolution de récurrence (3) Linconvénient de la méthode par substitution : il faut « pressentir » la forme de la solution. (2)Méthode itérative. Principe : développer (itérer) la récurrence et de lexprimer sous la forme dune sommation en termes dépendant uniquement de n et de conditions initiales. Utiliser ensuite lévaluation de sommations.

31 Résolution de récurrence (4) Considérons (Ici on se sert de la borne) Combien de fois faut-il itérer la récurrence avant datteindre la condition aux limites (n=1) ? Litération atteint 1 quand donc i = (ou dépasse)

32 Résolution de récurrence (5)

33 Exemple dapplication du théorème général ss on a a=9, b=3, f(n)=n On peut appliquer le cas 1 du théorème général et donc


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