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Suites réelles CHAPITRE 5. Quest ce quune suite de nombres réels ? (u n ) n Application de N dans R Ne pas confondre la suite (u n ) n avec lensemble.

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1 Suites réelles CHAPITRE 5

2 Quest ce quune suite de nombres réels ? (u n ) n Application de N dans R Ne pas confondre la suite (u n ) n avec lensemble {u n ; n = 0,1,2,…} des valeurs de la suite ! n unununun

3 Suites de nombres réels et convergence u n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … u n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … l = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … l = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … La suite de nombres réels (u n ) n converge vers le nombre réel l si et seulement si : 1. La suite dentiers relatifs (m n ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier relatif m 2. Pour tout entier positif p, la suite de chiffres (d n,p ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier d p u n = u(n)

4 Quantifier la notion de convergence : Une suite (u n ) n de nombres réels converge vers un nombre réel l si et seulement si : Pour tout positif, il existe N dans N, tel que : n r N( ) |u n - l | b |u n - l | b

5 Propriétés des suites convergentes Toute suite convergente est bornée (cest- à-dire : lensemble des termes de la suite est minoré et majoré) Toute suite convergente est bornée (cest- à-dire : lensemble des termes de la suite est minoré et majoré) Toute suite extraite dune suite convergente est aussi convergente et a même limite que la suite initiale donnée Toute suite extraite dune suite convergente est aussi convergente et a même limite que la suite initiale donnée Toute suite convergeant vers un nombre réel l >0 est minorée au-delà dun certain cran n 0 par l /2 >0. Toute suite convergeant vers un nombre réel l >0 est minorée au-delà dun certain cran n 0 par l /2 >0.

6 Une propriété essentielle des suites monotones de nombres réels Toute suite (u n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente (vers la borne supérieure de lensemble des termes de la suite) Toute suite (u n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente (vers la borne supérieure de lensemble des termes de la suite) Toute suite (v n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente (vers la borne inférieure de lensemble des termes de la suite) Toute suite (v n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente (vers la borne inférieure de lensemble des termes de la suite)

7 Suites adjacentes et lemme « des gendarmes » 1.Pour tout n dans N, les nombres u n, u n+1, v n+1, v n sont rangés dans cet u n, u n+1, v n+1, v n sont rangés dans cet ordre (croissant) ordre (croissant) 2. La suite (v n -u n ) n converge vers 0 Soient deux suites (u n ) n et (v n ) n de nombres réels telles que : Les deux suites (u n ) n et (v n ) n sont dites adjacentes Lemme des gendarmes : « deux suites de nombres réels adjacentes sont toutes deux convergentes vers un même nombre réel »

8 Suites « pincées » et lemme « des gendarmes » bis 1.Pour tout n dans N, les nombres u n, v n, w n sont rangés dans cet u n, v n, w n sont rangés dans cet ordre (croissant) ordre (croissant) 2.Les suites (u n ) n et (w n ) n convergent vers la même limite l Soient trois suites (u n ) n, (v n ) n (w n ) n de nombres réels telles que : La suite « pincée » (v n ) n converge alors aussi vers l

9 Limites et opérations Limites et opérations lim (u n ) = l et lim (v n )= l lim (u n +v n ) = l + l lim (u n ) = l et lim (v n )= l lim (u n +v n ) = l + l lim (u n ) = l et lim (v n ) = l lim (u n v n ) = l l lim (u n ) = l et lim (v n ) = l lim (u n v n ) = l l lim (u n ) = l et l _ 0 lim (1/u n ) = 1/ l * lim (u n ) = l et l _ 0 lim (1/u n ) = 1/ l * lim (u n ) = l lim (|u n |) =| l | lim (u n ) = l lim (|u n |) =| l | (*) u n est forcément non nul pour n assez grand

10 Sous-ensembles ouverts Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage de chacun de ses points, ce qui signifie : Pour tout x dans U, il existe un intervalle ouvert borné I x contenant x et inclus dans U ] | [ x U

11 Sous-ensembles fermés Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert.

12 Intérieur, adhérence, frontière dun sous-ensemble E de R o Lintérieur E dun sous-ensemble E de R est le plus grand sous-ensemble ouvert de R inclus dans E _ Ladhérence E dun sous-ensemble E de R est le plus petit sous-ensemble fermé de R contenant E _ o _ o Frontière de E : = E \ E

13 Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble E si et seulement si on peut latteindre comme limite dune suite de points de E. Caractérisation de ladhérence

14 La droite numérique « achevée » Adjonction à R de deux éléments Adjonction à R de deux éléments R - linfini + linfini

15 La droite numérique « achevée » (une autre manière de procéder) Adjonction à R dun élément Adjonction à R dun élément R x m Linfini 0

16 Une suite (u n ) n de nombres réels tend vers « plus linfini » si et seulement si : Pour tout A > 0, il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) u n r A Retour au premier point de vue (deux points à linfini)

17 Une suite (u n ) n de nombres réels tend vers « moins linfini » si et seulement si : Pour tout A > 0, il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) u n b - A

18 Attention aux formes indéterminées ! Lim (a 0 n p + a 1 n p-1 + … + a p ) = + linfini si a 0 > 0 - linfini si a 0 < 0 n 2 – n (log n) /n = (1/n) x log n ? ? quand n tend vers + linfini

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20 Fin du chapitre 5


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