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VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE. Notion de variable aléatoire Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle.

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1 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

2 Notion de variable aléatoire Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: – : lensemble fondamental des résultats –Une famille dévénements associés à –Une fonction de probabilité P Cependant, souvent, on ne sintéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats dune expérience

3 Notion de variable aléatoire Lorsquon lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. Ce qui nous intéresse, ce nest pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet –Par exemple le nombre de faces De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

4 Notion de variable aléatoire Il est pratiquement impossible deffectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P) Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

5 Exemple X: (P,P,P) (P,F,P) (P,P,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (P,F,F) (F,F,F) Le nombre de faces

6 Variable aléatoire - Définition Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat dune expérience aléatoire un nombre réel Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats dune expérience Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

7 Notation Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: –Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x : –x= 0, 1, 2 ou 3 faces

8 Variable aléatoire discrète Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : –Lorsque lensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable –La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

9 Généralités Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues –On les a abordées sous langle des statistiques descriptives pour des échantillons Létude des lois de probabilités permet de caractériser dune manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie Le calcul des probabilités est laspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

10 Généralités Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles dune expérience aléatoire) Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint dobservations (échantillon) La loi des grands nombres nous permet détablir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques –Elle précise que la fréquence relative dun événement tend vers sa probabilité lorsque le nombre de répétitions de lexpérience aléatoire augmente

11 Généralités Notions probabilistes (Concepts théoriques) Notions statistiques (Concepts pratiques) Probabilité dun événement Fréquence relative Variable aléatoireVariable statistique Loi de probabilitéDistribution statistique (empirique) Espérance mathématique dune variable aléatoire E(X) Moyenne arithmétique dune variable statistique Variance dune variable aléatoire Var(X) Variance dune variable statistique

12 Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité dune variable aléatoire discrète (v.a.d.) La distibution de probabilité dune variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité dune v.a. discrète cest associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

13 Exemple Soit lexpérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité Lensemble des réalisations de X est : –x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

14 Exemple Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): x P(X=x) ou f(x) Pour une variable aléatoire discrète

15 Exemple X: (P,P,P) (P,F,P) (P,P,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (P,F,F) (F,F,F) Le nombre de votants pour le parti vert f(0)=1/8 f(3)=1/8 f(2)=3/8 f(1)=3/8

16 Représentation graphique

17 Propriétés dune fonction de probabilité f(x) 0 x f(x i ) = 1

18 Exemple Considérons les ventes dautomobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. Lexpérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de lopération.

19 Exemple - suite Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre dautos vendues par jour: –Soit X le nombre dautos vendues par jour –X est une variable aléatoire discrète –Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 –f(x) donne la probabilité quon vende x autos un jour donné. –La distribution (fonction) de probabilité de x est: f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ; f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

20 Exemple - suite Lavantage de décrire une variable aléatoire et sa distribution de probabilité est quune fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité doccurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours dune journée est: –f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

21 Fonction de répartition La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs x j de X (inférieures à x) jusquà x: –F(x) = P( X x ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) +…+ f(x j ) tel que x 1,..x j, x - Cest la fonction de probabilités cumulées des valeurs de X jusquà x j - Cest aussi la surface sous la courbe f(x) jusquà la valeur x j

22 Exemple somme de 2 dés - suite X P(X=x) f(x) P(X x) F(x)

23 Représentation graphique

24 Propriétés de la fonction de répartition 1.Une fonction de répartition F(x i ) prends ses valeurs dans lintervalle (0, 1) 2.F(- ) = lim F(x) lorsque x tend vers - = 0 3.F(+ ) = lim F(x) lorsque x tends vers + = 1 4.F(x) est non-décroissante, i.e. si x 1

25 Propriétés de la fonction de répartition Pour une variable aléatoire discrète: –P(a < X b) = F(b) – F(a) –P(a < X < b) = F(b - ) – F(a) –P(a X < b) = F(b - ) – F(a - ) –P(a X b) = F(b) – F(a - ) où : F(x - ) = P(X

26 Paramètres dune v.a.d Paramètre de tendance centrale –Espérance mathématique Paramètres de dispersion –Variance –Écart type

27 Lespérance mathématique Lespérance mathématique dune v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de lensemble des valeurs possibles dune v.a. Notation : E[X] ou Si X est une v.a. discrète : E[X] = x i f(x i )

28 Exemple 1 - suite xixi P(X=x i ) x i.f(x i ) E[X] = x i f(x i ) = …+ 12 = 252 =

29 La variance La variance sert dindicateur pour létalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à (lespérance mathématique) Var(X) = 2 = E[(X- ) 2 ] =

30 La variance Var(X) = E[X 2 ] – (E[X]) 2

31 Écart type Lécart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement, est défini comme la racine carrée positive de Var(X) (X) =

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34 Processus Bernoulli et expérience binomiale Propriétés: 1.Lexpérience est une série de n tirages identiques 2.Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec 3.La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas dun tirage à lautre. La probabilité déchec q=1-p ne se modifie pas non plus 4.Les tirages sont indépendants – Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il sagit dune expérience binomiale

35 Distribution binomiale Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsquon effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale. –X Bi (n, p) –Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p» –Lintérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

36 Distribution binomiale n = le nombre dépreuves de Bernoulli p = la probabilité de succès Définition mathématique dune v.a. binomiale : –Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0 p 1, q=1-p, avec les probabilités : sappelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

37 Distribution binomiale Si X est une v.a. binomiale alors :

38 Exemple Soit lexpérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité dobtenir 2 succès ? p= q= n= x= Utilisation des tables p. 702: probabilité dobtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès Quelle est la probabilité dobtenir moins de 3 succès?


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