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STATISTIQUE INFERENTIELLE L ESTIMATION. UN EXEMPLE Montant quotidien des dépôts en liquide dans la banque Ibardinescroak de Saint Jean de Luz. 500 5000.

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1 STATISTIQUE INFERENTIELLE L ESTIMATION

2 UN EXEMPLE Montant quotidien des dépôts en liquide dans la banque Ibardinescroak de Saint Jean de Luz Comment obtenir une information sur la distribution des dépôts, sur le montant du dépôt moyen, etc….?

3 UNE SOLUTION SIMPLE MAIS IMPOSSIBLE A METTRE EN ŒUVRE …... Observer tous les dépôts car le nombre N dobservations est très grand, voire infini!

4 UNE AUTRE SOLUTION On observe un échantillon, c.à.d. une partie de la population Statistique descriptive échantillon

5 INTERET DE LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE Echantillo n Montant des dépôts Fréquence Dépôt moyen = 7500 écart-type des dépôts = 2500 Construction dun modèle théorique

6 Servir de base à la construction dun modèle théorique Pourquoi ? Pour faire de la prévision: Quelle quantité de monnaie acheter à la Banque de France en début de semaine? Quelle quantité de liquide va-ton pouvoir faire transiter par la Suisse ?….. INTERET DE LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE

7 UN MODELE MATHEMATIQUE Test dajustement : On verra plus tard... Estimation 3 affirmations à vérifier X = Montant quotidien des dépôts est une variable aléatoire de loi Normale de moyenne E(X) = de variance V(X) = ²

8 ESTIMATION DE LA MOYENNE Comment avoir une idée sur la valeur de la moyenne ? 1) Prendre rendez-vous avec Irma la voyante Problèmes: ça va me coûter cher. Puis-je lui faire confiance ? Problème: je nai rien compris aux probas Avantage: je pourrai préciser la confiance à apporter à mon résultat Cest pas grave car on ne va plus samuser à jeter des dés ou tirer des cartes... 2) Utiliser lintuition et quelques notions de probabilités

9 UNE METHODE INTUITIVE DESTIMATION DE LA MOYENNE Pour estimer la moyenne inconnue de la population on utilise la moyenne x de léchantillon. Est-on sûr de faire mieux quIrma ?

10 On observe n dépôts x 1,….,x n sur un échantillon et on en fait la moyenne va-t-elle être proche de inconnue? Pas mal… mais que se serait-il passé si javais pris un autre échantillon ? Moins bien…. Et un autre ? Et si jinsiste lourdement ? Loi de Pourquoi les observations de sont-elles concentrées autour de la moyenne inconnue ? Théorème fondamental: Si X est une v.a. de moyenne et décart-type, alors la v.a. moyenne, notée, obtenue sur un échantillon de taille n tend vers une UNE METHODE INTUITIVE DESTIMATION DE LA MOYENNE

11 Précision Fiabilité Probabilité Prendre une décision à partir dun échantillon, est-ce vraiment fiable ? Quelle est la probabilité que la moyenne inconnue se trouve pas trop loin de observée ? Il y a 1- = 95 chances sur 100 que lintervalle contienne

12 Il y a 1- chances que la moyenne inconnue appartienne à lintervalle aléatoire P[ +u > -u ] = 1- P[ - u < +u ] = 1- suit une loi, UN PEU…….. DE PROBAS…. donc suit une N(0,1) P[-u < < u] = 1- = 0,95 Table u = environ 2 (1,96) P[-u < - < u ] = 1- P[- -u < - < -X+u ] = 1-

13 UN PEU…….. DE PROBAS…. FIN ……. et donc un autre intervalle …. qui ne contient pas forcément Si on peut prendre une infinité déchantillons, 95% des intervalles contiennent Il y a 95 chances sur 100 que la moyenne inconnue appartienne à lintervalle aléatoire Une autre observation nous aurait donné une autre valeur, On dira (pour simplifier) que la moyenne inconnue a 95 chances sur 100 dappartenir à lintervalle numérique Une observation aléatoire nous donne la valeur de.

14 Fiabilité et précision lintervalle a 1- chances de contenir fiabilité précision P[-u < N(0,1) < u] = 1- P[-u < < u] = et u sont liés par la relation 1 - -u u Fiablité augmente u augmente Précision diminue

15 1) Pour des raisons intuitives 2) Pour des raisons théoriques est un estimateur sans biais est un estimateur convergent Plus la taille de léchantillon grandit plus la variance diminue. Pour n infini, lobservation tombe forcément sur. Pour quelles raisons utiliser la moyenne de léchantillon pour estimer la moyenne de la population ? On a une forte probabilité que lobservation soit dans cette zone pour Pour T

16 RESUME SUR LESTIMATION DUNE MOYENNE précisionCoefficient de confiance Pour estimer la moyenne dune population, on utilise la moyenne de léchantillon Détermination de la taille déchantillon pour une précision et un coefficient de confiance donnés On veut que lintervalle soit de la forme, donc et Estimation ponctuelle Estimation par intervalle de confiance Pour avoir une idée de la fiabilité et de la précision du résultat on utilise un intervalle de confiance avec u défini par P[-u < N(0,1) < u] = 1- RESUME SUR LESTIMATION DUNE MOYENNE dune population Normale de variance connue

17 ESTIMATION PONCTUELLE DE LA VARIANCE ² 1) Pour des raisons intuitives 2) Pour des raisons théoriques Il est naturel destimer la variance dune population, par la variance de léchantillon On estime la variance dune population par la variance corrigée de léchantillon, notée aussi s². Pourquoi ? est un estimateur sans biais de ² est un estimateur convergent de ²

18 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA VARIANCE ² DUNE POPULATION NORMALE (n-1) S² ² suit une loi de ² à (n-1) d.d.l. Table a et b (> 0) pour 1- donné Doù un intervalle de confiance

19 Pour estimer la variance ² dune population, on utilise la variance corrigée s² de léchantillon Estimation ponctuelle RESUME SUR LESTIMATION DUNE VARIANCE Estimation par intervalle de confiance Pour avoir une idée de la fiabilité et de la précision du résultat on utilise un intervalle de confiance avec a et b définis par

20 ESTIMATION PONCTUELLE DUNE PROPORTION Dans la population il y a une proportion p dindividus possédant un certain caractère. 1) Pour des raisons intuitives Il est naturel destimer la proportion p dune population par la proportion f de léchantillon 2) Pour des raisons théoriques F, proportion déchantillon, est une v.a. qui tend vers une loi F est un estimateur sans biais de p F est un estimateur convergent de p

21 est à peu près une N(0,1) dès que n > 100 et 0,1 < p < 0,9 INTERVALLE DE CONFIANCE DUNE PROPORTION Table u pour 1- donné p (dans les bornes de lintervalle aléatoire) étant inconnu, il est approché par une estimation f, doù un intervalle de confiance F tend vers une, ou encore

22 Détermination de la taille déchantillon pour une précision et un coefficient de confiance donnés Pour estimer la proportion p dune population, on utilise la proportion f de léchantillon Estimation ponctuelle On veut que lintervalle soit de la forme, donc et RESUME SUR LESTIMATION DUNE PROPORTION Estimation par intervalle de confiance Pour avoir une idée de la fiabilité et de la précision du résultat on utilise un intervalle de confiance avec u défini par P[-u < N(0,1) < u] = 1- pour n > 100 et 0,1 < f < 0,9 (sinon utiliser un abaque)

23 ESTIMATION PONCTUELLE : UNE CONCLUSION X de loi quelconque de moyenne E(X) =, de variance V(X) = ² La variance corrigée s² de léchantillon est une bonne estimation de la variance ² de la population La moyenne de léchantillon est une bonne estimation de la moyenne de la population La proportion f de léchantillon est une bonne estimation de la proportion p de la population s² Proportion p dun caractère f

24 INTERVALLE DE CONFIANCE DUNE MOYENNE: EXTENSIONS La taille déchantillon est grande La variance ² est connue ( ce qui en pratique est très rare ) Que peut-on faire si ces conditions ne sont pas respectées ? Le taux de sondage n/N est faible ( <10% ) Pour obtenir un intervalle de confiance de la moyenne nous avons supposé (sans le dire) que

25 INTERVALLE DE CONFIANCE DUNE MOYENNE EXTENSIONS Loi de Student à (n-1) d.d.l.qui est approximativement N(0,1) pour n > 30 Dans ce tableau, on suppose que léchantillon est prélevé avec remise, ou que léchantillon est prélevé sans remise et le taux de sondage n/N <10 % Dans le cas dun échantillon prélevé sans remise, et un taux de sondage n/N >10 %, on multiplie ou s par le facteur dexhaustivité Ce correctif doit aussi être apporté pour un intervalle de confiance dune proportion


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